Номер 1273, страница 331 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 11 - номер 1273, страница 331.

Условие.

1273 Выразите диагонали вписанного в окружность четырёхугольника через его стороны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан вписанный в окружность четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB = a$, $BC = b$, $CD = c$ и $DA = d$. Обозначим его диагонали как $AC = p$ и $BD = q$. Требуется выразить $p$ и $q$ через $a, b, c, d$.

Для нахождения диагоналей воспользуемся теоремой косинусов для треугольников, на которые диагонали разбивают четырёхугольник, а также свойством вписанного четырёхугольника, согласно которому сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$.

Сначала найдём диагональ $p = AC$. Она является общей стороной для треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. По теореме косинусов для $\triangle ABC$ имеем: $p^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\angle B)$. А для $\triangle ADC$: $p^2 = c^2 + d^2 - 2cd \cos(\angle D)$.

Поскольку четырёхугольник $ABCD$ вписанный, $\angle B + \angle D = 180^\circ$, и, следовательно, $\cos(\angle D) = \cos(180^\circ - \angle B) = -\cos(\angle B)$. Подставив это во второе выражение для $p^2$, получим: $p^2 = c^2 + d^2 + 2cd \cos(\angle B)$.

Приравняв два выражения для $p^2$, мы можем выразить $\cos(\angle B)$:
$a^2 + b^2 - 2ab \cos(\angle B) = c^2 + d^2 + 2cd \cos(\angle B)$
$a^2 + b^2 - c^2 - d^2 = (2ab + 2cd) \cos(\angle B)$
$\cos(\angle B) = \frac{a^2 + b^2 - c^2 - d^2}{2(ab + cd)}$

Теперь подставим это выражение для $\cos(\angle B)$ в первую формулу для $p^2$:
$p^2 = a^2 + b^2 - 2ab \left( \frac{a^2 + b^2 - c^2 - d^2}{2(ab + cd)} \right) = a^2 + b^2 - \frac{ab(a^2 + b^2 - c^2 - d^2)}{ab + cd}$
Приводя к общему знаменателю и упрощая, получаем:
$p^2 = \frac{(a^2 + b^2)(ab + cd) - ab(a^2 + b^2 - c^2 - d^2)}{ab + cd} = \frac{a^2cd + b^2cd + abc^2 + abd^2}{ab + cd}$
Сгруппировав слагаемые в числителе, получим окончательную формулу (это частный случай теоремы Бретшнайдера для вписанных четырехугольников, также известна как формула Брахмагупты):
$p^2 = \frac{(ad+bc)(ac+bd)}{ab+cd}$

Рассуждения для нахождения второй диагонали $q = BD$ полностью аналогичны. Рассматриваются треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle BCD$ с общей стороной $q=BD$ и противолежащими углами $\angle A$ и $\angle C$. Проделав аналогичные выкладки, получим:
$q^2 = \frac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}$

Ответ: Пусть $a, b, c, d$ — длины последовательных сторон $AB, BC, CD, DA$ вписанного четырёхугольника. Тогда длины его диагоналей $p=AC$ и $q=BD$ выражаются формулами:
$p = \sqrt{\frac{(ad+bc)(ac+bd)}{ab+cd}}$
$q = \sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}}$