Номер 1276, страница 332 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 11 - номер 1276, страница 332.

Условие.

1276 В прямоугольной трапеции $ABCD$ меньшее основание $AD$ равно $3$, а боковая сторона $CD$, не перпендикулярная к основаниям, равна $6$. Точка $E$ — середина отрезка $CD$, угол $CBE$ равен $\alpha$. Найдите площадь трапеции $ABCD$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которой основания $AD$ и $BC$ параллельны ($AD || BC$), а боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям, т.е. $\angle A = \angle B = 90^\circ$. Согласно условию, меньшее основание $AD=3$, боковая сторона $CD=6$, точка $E$ — середина отрезка $CD$, и $\angle CBE = \alpha$.

Площадь трапеции находится по формуле $S = \frac{AD + BC}{2} \cdot AB$. Для нахождения площади нам необходимо определить длину большего основания $BC$ и высоту $AB$.

Проведём высоту $DH$ из вершины $D$ на основание $BC$. Так как $AB$ и $DH$ перпендикулярны $BC$, то $ABHD$ — прямоугольник. Отсюда следует, что высота трапеции $AB = DH$, и отрезок $BH = AD = 3$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $DHC$. В нём гипотенуза $CD=6$, катет $DH=AB$, а второй катет $HC = BC - BH = BC - 3$. По теореме Пифагора $DH^2 + HC^2 = CD^2$, что даёт нам первое уравнение, связывающее $AB$ и $BC$:$AB^2 + (BC - 3)^2 = 6^2 = 36$.

Для получения второго уравнения используем условие $\angle CBE = \alpha$. Проведём из точки $E$ перпендикуляр $EM$ на основание $BC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BME$ ($\angle EMB = 90^\circ$). Чтобы найти его катеты $EM$ и $BM$, удобно мысленно поместить трапецию в систему координат: пусть $B(0, 0)$, $C(BC, 0)$, $A(0, AB)$, тогда $D(AD, AB)$, т.е. $D(3, AB)$. Точка $E$, как середина отрезка $CD$, будет иметь координаты, равные полусуммам координат точек $C$ и $D$: $E\left(\frac{BC+3}{2}, \frac{0+AB}{2}\right) = E\left(\frac{BC+3}{2}, \frac{AB}{2}\right)$. Длина катета $EM$ равна ординате точки $E$, то есть $EM = \frac{AB}{2}$. Длина катета $BM$ равна абсциссе точки $E$, то есть $BM = \frac{BC+3}{2}$.

В прямоугольном треугольнике $BME$ тангенс угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:$\tan(\alpha) = \frac{EM}{BM} = \frac{AB/2}{(BC+3)/2} = \frac{AB}{BC+3}$. Отсюда получаем второе уравнение: $AB = (BC+3)\tan(\alpha)$.

Теперь решим систему двух уравнений с двумя неизвестными $AB$ и $BC$:
1) $AB^2 + (BC - 3)^2 = 36$
2) $AB = (BC+3)\tan(\alpha)$
Из второго уравнения выразим $BC$: $BC+3 = \frac{AB}{\tan(\alpha)} = AB\cot(\alpha)$, откуда $BC = AB\cot(\alpha) - 3$. Подставим это выражение для $BC$ в первое уравнение:$AB^2 + ( (AB\cot(\alpha) - 3) - 3)^2 = 36$$AB^2 + (AB\cot(\alpha) - 6)^2 = 36$$AB^2 + AB^2\cot^2(\alpha) - 12AB\cot(\alpha) + 36 = 36$$AB^2(1 + \cot^2(\alpha)) - 12AB\cot(\alpha) = 0$Поскольку высота $AB \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $AB$:$AB(1 + \cot^2(\alpha)) = 12\cot(\alpha)$Используя основное тригонометрическое тождество $1 + \cot^2(\alpha) = \csc^2(\alpha) = \frac{1}{\sin^2(\alpha)}$, находим $AB$:$AB \cdot \frac{1}{\sin^2(\alpha)} = 12 \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$$AB = 12 \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} \cdot \sin^2(\alpha) = 12\sin(\alpha)\cos(\alpha) = 6\sin(2\alpha)$.

Теперь найдём длину основания $BC$:$BC = AB\cot(\alpha) - 3 = (12\sin(\alpha)\cos(\alpha)) \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} - 3 = 12\cos^2(\alpha) - 3$.

Наконец, вычислим площадь трапеции $ABCD$:$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot AB = \frac{3 + (12\cos^2(\alpha) - 3)}{2} \cdot (12\sin(\alpha)\cos(\alpha))$$S = \frac{12\cos^2(\alpha)}{2} \cdot 12\sin(\alpha)\cos(\alpha)$$S = 6\cos^2(\alpha) \cdot 12\sin(\alpha)\cos(\alpha) = 72\sin(\alpha)\cos^3(\alpha)$.

Ответ: $72\sin(\alpha)\cos^3(\alpha)$.