Номер 1277, страница 332 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 11 - номер 1277, страница 332.

Условие.

1277 В остроугольном треугольнике $ABC$ сторона $AB$ больше стороны $BC$, отрезки $AM$ и $CN$ — высоты треугольника, точка $O$ — центр описанной окружности. Угол $ABC$ равен $\beta$, а площадь четырёхугольника $NOMB$ равна $S$. Найдите сторону $AC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть $R$ — радиус описанной окружности треугольника $ABC$. Точка $O$ — центр этой окружности. Площадь четырехугольника $NOMB$ можно представить как сумму площадей треугольников $\triangle BNO$ и $\triangle BMO$:

$S = S_{\triangle BNO} + S_{\triangle BMO}$

Выразим площади этих треугольников через формулу $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$:

$S_{\triangle BNO} = \frac{1}{2} \cdot BN \cdot BO \cdot \sin(\angle NBO)$

$S_{\triangle BMO} = \frac{1}{2} \cdot BM \cdot BO \cdot \sin(\angle MBO)$

Найдем элементы, входящие в эти формулы. $BO$ — это радиус описанной окружности, т.е. $BO = R$.

Поскольку $CN$ — высота, треугольник $BNC$ — прямоугольный ($\angle BNC = 90^\circ$). Из него получаем:$BN = BC \cdot \cos(\angle ABC) = BC \cdot \cos\beta$.

Аналогично, поскольку $AM$ — высота, треугольник $BMA$ — прямоугольный ($\angle BMA = 90^\circ$). Из него получаем:$BM = AB \cdot \cos(\angle ABC) = AB \cdot \cos\beta$.

Теперь определим углы. Точка $N$ лежит на отрезке $AB$, поэтому $\angle NBO = \angle ABO$. Точка $M$ лежит на отрезке $BC$, поэтому $\angle MBO = \angle CBO$. Так как $O$ — центр описанной окружности, треугольник $AOB$ является равнобедренным ($OA = OB = R$). Центральный угол $\angle AOB$ вдвое больше вписанного угла $\angle ACB$. Обозначим углы треугольника как $A, B(=\beta), C$. Тогда $\angle AOB = 2C$. Углы при основании равнобедренного $\triangle AOB$ равны:$\angle OBA = \frac{180^\circ - 2C}{2} = 90^\circ - C$.

Аналогично, треугольник $BOC$ равнобедренный ($OB = OC = R$), и центральный угол $\angle BOC = 2A$. Углы при основании $\triangle BOC$ равны:$\angle OBC = \frac{180^\circ - 2A}{2} = 90^\circ - A$.

Подставим найденные выражения в формулу для площади $S$:$S = \frac{1}{2} (BC \cdot \cos\beta) \cdot R \cdot \sin(90^\circ - C) + \frac{1}{2} (AB \cdot \cos\beta) \cdot R \cdot \sin(90^\circ - A)$

Используя формулы приведения $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha$, упростим выражение:$S = \frac{1}{2} R \cos\beta (BC \cdot \cos C + AB \cdot \cos A)$

Выражение в скобках $AB \cdot \cos A + BC \cdot \cos C$ есть длина стороны $AC$ (как сумма проекций сторон $AB$ и $BC$ на прямую $AC$). Следовательно, $AC = AB \cos A + BC \cos C$. Формула для площади принимает вид:$S = \frac{1}{2} R \cos\beta \cdot AC$

Свяжем радиус описанной окружности $R$ и сторону $AC$ с помощью обобщенной теоремы синусов для $\triangle ABC$:$\frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = 2R \implies \frac{AC}{\sin\beta} = 2R \implies R = \frac{AC}{2\sin\beta}$

Подставим полученное выражение для $R$ в формулу для площади $S$:$S = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{AC}{2\sin\beta}\right) \cdot \cos\beta \cdot AC = \frac{AC^2 \cdot \cos\beta}{4\sin\beta} = \frac{AC^2}{4} \cot\beta$

Из этого равенства выразим $AC^2$:$AC^2 = \frac{4S}{\cot\beta} = 4S \tan\beta$

Тогда длина стороны $AC$ равна:$AC = \sqrt{4S \tan\beta} = 2\sqrt{S \tan\beta}$

Ответ: $2\sqrt{S \tan\beta}$.