Номер 1271, страница 331 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 11 - номер 1271, страница 331.

Условие.

1271 Докажите, что площадь $S$ произвольного четырёхугольника со сторонами $a, b, c, d$ (последовательно) удовлетворяет неравенству $S \le \frac{1}{2}(ac + bd)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Рассмотрим произвольный (несамопересекающийся) четырехугольник $ABCD$ со сторонами $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$ и $DA=d$. Пусть $S$ — его площадь.

Площадь любого четырехугольника можно выразить через длины его диагоналей $p=AC$, $q=BD$ и синус угла $\alpha$ между ними: $$S = \frac{1}{2}pq \sin(\alpha)$$ Поскольку значение синуса любого угла не превышает 1, то есть $\sin(\alpha) \le 1$, мы можем записать неравенство для площади: $$S \le \frac{1}{2}pq$$

Теперь докажем обобщенное неравенство Птолемея для произвольного четырехугольника, которое связывает длины сторон и диагоналей: $$pq \le ac + bd$$ Для доказательства воспользуемся методом комплексных чисел. Представим вершины четырехугольника $A, B, C, D$ в виде комплексных чисел $z_A, z_B, z_C, z_D$ на комплексной плоскости. Тогда длины сторон и диагоналей равны модулям разности соответствующих комплексных чисел:
$a = |z_A - z_B|$, $b = |z_B - z_C|$, $c = |z_C - z_D|$, $d = |z_D - z_A|$
$p = |z_A - z_C|$, $q = |z_B - z_D|$

Рассмотрим следующее алгебраическое тождество для любых четырех комплексных чисел $z_A, z_B, z_C, z_D$: $$(z_A-z_C)(z_D-z_B) = (z_A-z_B)(z_D-z_C) + (z_B-z_C)(z_D-z_A)$$ Возьмем модуль от обеих частей этого тождества: $$|(z_A-z_C)(z_D-z_B)| = |(z_A-z_B)(z_D-z_C) + (z_B-z_C)(z_D-z_A)|$$

Используя свойство модуля произведения ($|w_1 w_2| = |w_1| |w_2|$) для левой части и неравенство треугольника для комплексных чисел ($|w_1+w_2| \le |w_1|+|w_2|$) для правой части, получаем: $$|z_A-z_C||z_D-z_B| \le |(z_A-z_B)(z_D-z_C)| + |(z_B-z_C)(z_D-z_A)|$$ Применяя снова свойство модуля произведения к правой части, имеем: $$|z_A-z_C||z_D-z_B| \le |z_A-z_B||z_D-z_C| + |z_B-z_C||z_D-z_A|$$

Подставляя в это выражение длины сторон и диагоналей четырехугольника (учитывая, что $|z_D-z_B|=|z_B-z_D|=q$, $|z_D-z_C|=|z_C-z_D|=c$ и т.д.), получаем неравенство Птолемея: $$p \cdot q \le a \cdot c + b \cdot d$$

Теперь объединим полученные результаты. Мы установили два неравенства:
1. $S \le \frac{1}{2}pq$
2. $pq \le ac + bd$
Комбинируя их, получаем итоговое неравенство: $$S \le \frac{1}{2}(ac + bd)$$ Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство $S \le \frac{1}{2}(ac+bd)$ доказано.