Номер 1268, страница 331 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 10 - номер 1268, страница 331.

Условие.

1268 Пусть $A$ и $B$ — данные точки, $k$ — данное положительное число, не равное $1$.

а) Докажите, что множество всех точек $M$, удовлетворяющих условию $AM = kBM$, есть окружность (окружность Аполлония).

б) Докажите, что эта окружность пересекается с любой окружностью, проходящей через точки $A$ и $B$, так что их радиусы, проведённые в точку пересечения, взаимно перпендикулярны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

а)

Для доказательства воспользуемся методом координат. Введем систему координат так, чтобы точки $A$ и $B$ лежали на оси $Ox$ и были симметричны относительно начала координат. Пусть $A$ имеет координаты $(-c, 0)$, а $B$ — $(c, 0)$, где $c > 0$. Координаты произвольной точки $M$ обозначим как $(x, y)$.

Условие $AM = k \cdot BM$, где $k$ — данное положительное число, не равное 1, эквивалентно условию $AM^2 = k^2 \cdot BM^2$.

Выразим квадраты расстояний через координаты точек:

$AM^2 = (x - (-c))^2 + (y - 0)^2 = (x+c)^2 + y^2 = x^2 + 2cx + c^2 + y^2$

$BM^2 = (x - c)^2 + (y - 0)^2 = (x-c)^2 + y^2 = x^2 - 2cx + c^2 + y^2$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$x^2 + 2cx + c^2 + y^2 = k^2(x^2 - 2cx + c^2 + y^2)$

Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + 2cx + c^2 + y^2 - k^2x^2 + 2k^2cx - k^2c^2 - k^2y^2 = 0$

Сгруппируем члены при одинаковых степенях $x$ и $y$:

$(1 - k^2)x^2 + 2c(1+k^2)x + (1 - k^2)y^2 + c^2(1 - k^2) = 0$

Поскольку по условию $k \neq 1$, то $1 - k^2 \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $1 - k^2$:

$x^2 + \frac{2c(1+k^2)}{1-k^2}x + y^2 + c^2 = 0$

Это уравнение вида $x^2 + Dx + y^2 + F = 0$, которое задает окружность. Чтобы найти ее центр и радиус, выделим полный квадрат по переменной $x$:

$(x^2 + \frac{2c(1+k^2)}{1-k^2}x + (\frac{c(1+k^2)}{1-k^2})^2) - (\frac{c(1+k^2)}{1-k^2})^2 + y^2 + c^2 = 0$

$(x + \frac{c(1+k^2)}{1-k^2})^2 + y^2 = (\frac{c(1+k^2)}{1-k^2})^2 - c^2$

Преобразуем правую часть:

$(\frac{c(1+k^2)}{1-k^2})^2 - c^2 = \frac{c^2(1+2k^2+k^4)}{(1-k^2)^2} - \frac{c^2(1-2k^2+k^4)}{(1-k^2)^2} = \frac{c^2(4k^2)}{(1-k^2)^2} = (\frac{2kc}{|1-k^2|})^2$

Таким образом, мы получили каноническое уравнение окружности:

$(x + \frac{c(1+k^2)}{1-k^2})^2 + y^2 = (\frac{2kc}{1-k^2})^2$

Это уравнение окружности с центром в точке $O_1(-\frac{c(1+k^2)}{1-k^2}, 0)$ и радиусом $R_1 = \frac{2kc}{|1-k^2|}$. Следовательно, множество точек $M$ действительно является окружностью. Ответ:

б)

Пусть $S_1$ — это окружность Аполлония, полученная в пункте а). Ее центр $O_1$ имеет координаты $(-\frac{c(1+k^2)}{1-k^2}, 0)$, а квадрат ее радиуса равен $R_1^2 = \frac{4k^2c^2}{(1-k^2)^2}$.

Рассмотрим произвольную окружность $S_2$, проходящую через точки $A(-c, 0)$ и $B(c, 0)$. Центр любой такой окружности должен находиться на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$. В нашей системе координат серединным перпендикуляром является ось $Oy$. Значит, центр $O_2$ окружности $S_2$ имеет координаты $(0, h)$ для некоторого действительного числа $h$.

Квадрат радиуса $R_2$ этой окружности равен квадрату расстояния от ее центра $O_2$ до точки $B$ (или $A$):

$R_2^2 = (c-0)^2 + (0-h)^2 = c^2 + h^2$

Две окружности пересекаются так, что их радиусы, проведенные в точку пересечения, взаимно перпендикулярны (такие окружности называются ортогональными), если квадрат расстояния между их центрами равен сумме квадратов их радиусов. Проверим выполнение этого условия: $d(O_1, O_2)^2 = R_1^2 + R_2^2$.

Найдем квадрат расстояния между центрами $O_1$ и $O_2$:

$d(O_1, O_2)^2 = (-\frac{c(1+k^2)}{1-k^2} - 0)^2 + (0 - h)^2 = \frac{c^2(1+k^2)^2}{(1-k^2)^2} + h^2$

Найдем сумму квадратов радиусов:

$R_1^2 + R_2^2 = \frac{4k^2c^2}{(1-k^2)^2} + (c^2 + h^2)$

Теперь сравним два полученных выражения. Нам нужно доказать, что:

$\frac{c^2(1+k^2)^2}{(1-k^2)^2} + h^2 = \frac{4k^2c^2}{(1-k^2)^2} + c^2 + h^2$

Сократим $h^2$ в обеих частях и разделим на $c^2$ (поскольку $c \neq 0$):

$\frac{(1+k^2)^2}{(1-k^2)^2} = \frac{4k^2}{(1-k^2)^2} + 1$

Умножим обе части на $(1-k^2)^2$:

$(1+k^2)^2 = 4k^2 + (1-k^2)^2$

Раскроем скобки:

$1+2k^2+k^4 = 4k^2 + (1-2k^2+k^4)$

$1+2k^2+k^4 = 1+2k^2+k^4$

Мы получили тождество. Это означает, что условие ортогональности $d(O_1, O_2)^2 = R_1^2 + R_2^2$ выполняется для любой окружности $S_2$, проходящей через точки $A$ и $B$. Следовательно, окружность Аполлония пересекает любую такую окружность под прямым углом. Ответ: