Номер 1263, страница 330 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 10 - номер 1263, страница 330.

Условие.

1263 Докажите, что:

a) уравнение $Ax + By + C = 0$, где $A$ и $B$ одновременно не равны нулю, является уравнением прямой;

б) уравнение $x^2 - xy - 2 = 0$ не является уравнением окружности.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

а)

Рассмотрим уравнение $Ax + By + C = 0$, где по условию коэффициенты $A$ и $B$ одновременно не равны нулю. Это означает, что хотя бы один из них отличен от нуля. Разберем два возможных случая.

1. Пусть $B \neq 0$. В этом случае мы можем выразить $y$ через $x$:

$By = -Ax - C$

$y = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B}$

Полученное уравнение имеет вид $y = kx + b$, где $k = -\frac{A}{B}$ и $b = -\frac{C}{B}$. Это является уравнением прямой с угловым коэффициентом.

2. Пусть $B = 0$. Тогда из условия следует, что $A \neq 0$. Уравнение принимает вид:

$Ax + 0 \cdot y + C = 0$

$Ax = -C$

$x = -\frac{C}{A}$

Это уравнение задает вертикальную прямую, все точки которой имеют одинаковую абсциссу $x = -\frac{C}{A}$.

Таким образом, в любом случае, когда $A$ и $B$ не равны нулю одновременно, уравнение $Ax + By + C = 0$ задает прямую. Утверждение доказано.

Ответ: Доказано.

б)

Стандартное уравнение окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R > 0$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

Если раскрыть скобки, мы получим уравнение вида $x^2 + y^2 - 2x_0x - 2y_0y + (x_0^2 + y_0^2 - R^2) = 0$. В общем виде уравнение кривой второго порядка, представляющей собой окружность, имеет два обязательных признака:

1) Коэффициенты при $x^2$ и $y^2$ должны быть равны и отличны от нуля.

2) Должен отсутствовать член, содержащий произведение $xy$.

Рассмотрим данное уравнение $x^2 - xy - 2 = 0$. В этом уравнении мы видим, что:

Во-первых, присутствует член $-xy$, что нарушает второе условие.

Во-вторых, коэффициент при $x^2$ равен 1, а член $y^2$ отсутствует, то есть его коэффициент равен 0. Это нарушает первое условие, так как $1 \neq 0$.

Поскольку данное уравнение не удовлетворяет обязательным признакам уравнения окружности, оно не задает окружность на плоскости.

Ответ: Доказано.