Номер 1267, страница 331 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 10 - номер 1267, страница 331.

Условие.

1267 Точка $O$ не лежит на данной окружности. Для каждой точки $M_1$ окружности на луче $OM_1$ взята такая точка $M$, что $OM = k \cdot OM_1$, где $k$ — данное положительное число. Найдите множество всех точек $M$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дана окружность с центром в точке $C$ и радиусом $R$. Точка $O$ не лежит на этой окружности.

По условию, для каждой точки $M_1$ на данной окружности на луче $OM_1$ берётся точка $M$ такая, что $OM = k \cdot OM_1$, где $k$ — данное положительное число. Это означает, что точка $M$ является образом точки $M_1$ при гомотетии с центром в точке $O$ и коэффициентом $k$. Векторно это можно записать как $\vec{OM} = k \cdot \vec{OM_1}$.

Искомое множество точек $M$ — это образ данной окружности при указанной гомотетии.

Основное свойство гомотетии заключается в том, что она преобразует окружность в окружность. Найдём параметры новой окружности, которая является искомым множеством точек $M$.

1. Центр новой окружности. Центр $C'$ новой окружности является образом центра $C$ исходной окружности при той же гомотетии. Следовательно, точка $C'$ лежит на луче $OC$ (поскольку коэффициент $k$ положителен) и удовлетворяет векторному равенству $\vec{OC'} = k \cdot \vec{OC}$. Отсюда следует, что расстояние между центрами $O$ и $C'$ равно $OC' = k \cdot OC$.

2. Радиус новой окружности. Радиус $R'$ новой окружности равен радиусу исходной окружности $R$, умноженному на модуль коэффициента гомотетии. Так как по условию $k > 0$, новый радиус будет равен $R' = |k| \cdot R = k \cdot R$.

Таким образом, когда точка $M_1$ пробегает всю данную окружность, её образ, точка $M$, пробегает новую окружность с центром в точке $C'$ и радиусом $R'$.

Ответ: Искомое множество точек $M$ есть окружность с радиусом $R' = k \cdot R$ и центром в точке $C'$, которая лежит на луче $OC$ на расстоянии $OC' = k \cdot OC$ от точки $O$, где $C$ и $R$ — соответственно центр и радиус данной окружности.