Номер 1280, страница 332 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 12 - номер 1280, страница 332.

Условие.

Рис. 371

1280 Докажите, что отрезок AK, изображённый на рисунке 371, равен стороне правильного десятиугольника, вписанного в окружность с центром O.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Доказательство.

Пусть $R$ — радиус окружности с центром в точке $O$. Согласно рисунку, $OA$ и $OB$ — перпендикулярные радиусы окружности, то есть $OA = OB = R$ и $\angle AOB = 90^\circ$. Точка $C$ является серединой отрезка $OB$, следовательно, $OC = \frac{OB}{2} = \frac{R}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OAC$. По теореме Пифагора найдём длину гипотенузы $AC$:

$AC^2 = OA^2 + OC^2 = R^2 + (\frac{R}{2})^2 = R^2 + \frac{R^2}{4} = \frac{5R^2}{4}$

Отсюда $AC = \sqrt{\frac{5R^2}{4}} = \frac{R\sqrt{5}}{2}$.

Известно, что сторона $a_{10}$ правильного десятиугольника, вписанного в окружность радиуса $R$, выражается формулой:

$a_{10} = 2R \sin(18^\circ) = R \frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

Для доказательства утверждения задачи нам необходимо показать, что длина отрезка $AK$ равна $a_{10}$.

Геометрическое построение, изображённое на рисунке, является стандартным методом для нахождения стороны правильного вписанного десятиугольника. Оно выполняется следующим образом: на отрезке $AC$ строится точка $M$ такая, что $CM = OC$. Длина полученного отрезка $AM$ и будет равна стороне правильного десятиугольника. Затем на окружности выбирается точка $K$ так, чтобы хорда $AK$ была равна по длине отрезку $AM$.

Давайте вычислим длину отрезка $AM$. Точка $M$ лежит на отрезке $AC$, и по построению $CM = OC = \frac{R}{2}$.

Длина отрезка $AM$ равна разности длин отрезков $AC$ и $CM$:

$AM = AC - CM = \frac{R\sqrt{5}}{2} - \frac{R}{2} = R\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

Сравнивая полученное выражение с формулой для стороны правильного десятиугольника, видим, что они совпадают:

$AM = a_{10}$.

Так как точка $K$ на окружности построена таким образом, что $AK = AM$, то и длина хорды $AK$ равна стороне правильного десятиугольника:

$AK = a_{10}$.

Таким образом, мы доказали, что отрезок $AK$ равен стороне правильного десятиугольника, вписанного в окружность с центром $O$.

Ответ: Что и требовалось доказать.