Номер 1285, страница 332 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 12 - номер 1285, страница 332.

Условие.

1285 Пусть $M$ — произвольная точка, лежащая внутри правильного $n$-угольника. Докажите, что сумма перпендикуляров, проведённых из точки $M$ к прямым, содержащим стороны $n$-угольника, равна $nr$, где $r$ — радиус вписанной окружности.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом площадей.

Пусть дан правильный n-угольник. Обозначим длину его стороны через $a$. Площадь $S$ такого многоугольника можно выразить через радиус вписанной окружности $r$. Для этого разобьем n-угольник на $n$ равных равнобедренных треугольников, соединив его центр с вершинами. Высота каждого такого треугольника, проведенная из центра к стороне, равна радиусу вписанной окружности $r$, а основанием является сторона многоугольника $a$.

Площадь одного такого треугольника равна $\frac{1}{2}ar$. Так как весь многоугольник состоит из $n$ таких треугольников, его общая площадь равна: $$ S = n \cdot \frac{1}{2}ar = \frac{1}{2}nar $$

Теперь рассмотрим произвольную точку $M$, лежащую внутри n-угольника. Соединим эту точку со всеми вершинами многоугольника. В результате n-угольник будет разбит на $n$ треугольников, общая площадь которых равна площади самого n-угольника.

Основанием каждого из этих $n$ треугольников является сторона n-угольника, равная $a$. Высотами этих треугольников являются перпендикуляры, проведенные из точки $M$ к прямым, содержащим стороны n-угольника. Обозначим длины этих перпендикуляров как $h_1, h_2, \ldots, h_n$.

Площадь $i$-го треугольника (для $i$ от 1 до $n$) будет равна $\frac{1}{2}ah_i$. Сумма площадей всех этих треугольников равна площади n-угольника $S$: $$ S = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2}ah_i = \frac{1}{2}a \left( \sum_{i=1}^{n} h_i \right) $$

Мы получили два разных выражения для площади $S$. Приравняем их: $$ \frac{1}{2}nar = \frac{1}{2}a \left( \sum_{i=1}^{n} h_i \right) $$

Поскольку длина стороны $a$ не равна нулю ($a > 0$), мы можем сократить обе части равенства на $\frac{1}{2}a$: $$ nr = \sum_{i=1}^{n} h_i $$

Таким образом, доказано, что сумма длин перпендикуляров, проведенных из произвольной внутренней точки правильного n-угольника к прямым, содержащим его стороны, равна $nr$.

Ответ: Утверждение доказано.