Номер 1298, страница 334 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 13 - номер 1298, страница 334.

Условие.

1298 □ На стороне угла $AOB$ с недоступной вершиной дана точка $M$. Постройте отрезок, равный отрезку $OM$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения данной задачи используется метод, основанный на подобии треугольников. Поскольку вершина $O$ недоступна, мы не можем измерить отрезок $OM$ напрямую. Однако мы можем построить систему подобных треугольников, которая позволит нам вычислить и затем построить отрезок, равный $OM$, используя другие, доступные для измерения отрезки.

Построение

1. Пусть стороны угла $a$ и $b$ пересекаются в недоступной вершине $O$. Точка $M$ лежит на стороне $a$.
2. На второй стороне угла ($b$) выберем произвольную точку $A$.
3. Проведем отрезок $MA$.
4. На стороне $b$ выберем еще одну произвольную точку $B$ (не совпадающую с $A$).
5. Через точку $B$ построим прямую, параллельную отрезку $MA$. Эта прямая пересечет сторону $a$ в некоторой точке $P$. (Построение параллельной прямой является стандартной задачей, выполняемой с помощью циркуля и линейки).
6. Теперь у нас есть три отрезка, длины которых мы можем использовать в дальнейших построениях: $OA$ и $OB$ на стороне $b$, и $OP$ на стороне $a$. Как будет показано в доказательстве, длина искомого отрезка $OM$ связана с длинами этих отрезков соотношением $OM = \frac{OA \cdot OP}{OB}$.
7. Для того чтобы построить отрезок длиной $OM$, выполним построение так называемого "четвертого пропорционального отрезка":
   1. Начертим произвольный угол с вершиной в точке $S$.
   2. На одном луче этого угла отложим от вершины $S$ два отрезка: $SB' = OB$ и $SA' = OA$.
   3. На другом луче отложим от вершины $S$ отрезок $SP' = OP$.
   4. Соединим точки $B'$ и $P'$ отрезком.
   5. Через точку $A'$ проведем прямую, параллельную отрезку $B'P'$. Пусть эта прямая пересечет второй луч угла в точке $M'$.
8. Полученный отрезок $SM'$ и будет искомым отрезком, равным по длине отрезку $OM$.

Доказательство

Сначала докажем, что $OM = \frac{OA \cdot OP}{OB}$. Рассмотрим треугольники $\triangle OAM$ и $\triangle OBP$, образованные в пунктах 1-5 построения.

• Угол при вершине $O$ является общим для обоих треугольников.
• По построению (пункт 5), прямая $BP$ параллельна прямой $AM$. Прямая $OB$ (сторона $b$) является секущей для этих параллельных прямых. Следовательно, соответственные углы $\angle OBP$ и $\angle OAM$ равны.
• Таким образом, треугольник $\triangle OAM$ подобен треугольнику $\triangle OBP$ по двум углам (первый признак подобия).
• Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон: $ \frac{OM}{OP} = \frac{OA}{OB} $
• Выражая $OM$ из этой пропорции, получаем: $ OM = \frac{OA \cdot OP}{OB} $

Теперь докажем, что построенный отрезок $SM'$ равен $OM$. Рассмотрим треугольники $\triangle SA'M'$ и $\triangle SB'P'$, построенные в пункте 7.

• Угол при вершине $S$ у них общий.
• По построению (пункт 7e), прямая $A'M'$ параллельна прямой $B'P'$. Следовательно, $\triangle SA'M' \sim \triangle SB'P'$ по двум углам.
• Из подобия следует пропорциональность сторон: $ \frac{SM'}{SP'} = \frac{SA'}{SB'} $
• Подставим в эту пропорцию длины отрезков, которые мы откладывали: $SA'=OA$, $SB'=OB$, $SP'=OP$. $ \frac{SM'}{OP} = \frac{OA}{OB} $
• Выражая $SM'$, получаем: $ SM' = \frac{OA \cdot OP}{OB} $
• Сравнивая полученные выражения, заключаем, что $SM' = OM$, что и требовалось доказать.

Ответ: Отрезок $SM'$, построенный в соответствии с описанным алгоритмом, является искомым отрезком, равным $OM$.