Номер 1250, страница 329 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Тела и поверхности вращения - номер 1250, страница 329.

Условие.

1250 Вычислите площадь основания и высоту конуса, если развёрткой его боковой поверхности является сектор, радиус которого равен 9 см, а дуга равна $120^\circ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения задачи воспользуемся тем, что разверткой боковой поверхности конуса является сектор круга. Радиус этого сектора равен образующей конуса ($L$), а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса ($C_{осн}$).

Из условия задачи нам дано:

• Радиус сектора (образующая конуса) $L = 9$ см.
• Угол дуги сектора $\alpha = 120°$.

Сначала найдем радиус основания конуса ($r$). Для этого вычислим длину дуги сектора по формуле:

$C_{дуги} = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi L$

Подставим известные значения:

$C_{дуги} = \frac{120°}{360°} \cdot 2\pi \cdot 9 = \frac{1}{3} \cdot 18\pi = 6\pi$ см.

Длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса: $C_{осн} = C_{дуги}$. Формула длины окружности: $C_{осн} = 2\pi r$. Приравниваем и находим радиус $r$:

$2\pi r = 6\pi$

$r = \frac{6\pi}{2\pi} = 3$ см.

Теперь, зная радиус основания, мы можем найти площадь основания и высоту конуса.

Площадь основания

Основание конуса — это круг с радиусом $r = 3$ см. Площадь основания ($S_{осн}$) вычисляется по формуле площади круга:

$S_{осн} = \pi r^2 = \pi \cdot 3^2 = 9\pi$ см².

Ответ: $9\pi$ см².

Высота конуса

Высота конуса ($H$), радиус основания ($r$) и образующая ($L$) образуют прямоугольный треугольник, в котором образующая является гипотенузой. По теореме Пифагора:

$L^2 = H^2 + r^2$

Выразим отсюда высоту $H$:

$H = \sqrt{L^2 - r^2}$

Подставим значения $L = 9$ см и $r = 3$ см:

$H = \sqrt{9^2 - 3^2} = \sqrt{81 - 9} = \sqrt{72}$

Упростим корень:

$H = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$ см.

Ответ: $6\sqrt{2}$ см.