Номер 1248, страница 329 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Тела и поверхности вращения - номер 1248, страница 329.

Условие.

1248 Высота конуса равна $5 \text{ см}$. На расстоянии $2 \text{ см}$ от вершины его пересекает плоскость, параллельная основанию. Найдите объём этого конуса, если объём отсекаемого от него конуса равен $24 \text{ см}^3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Обозначим объём и высоту исходного (большого) конуса как $V_б$ и $H_б$, а объём и высоту отсекаемого (малого) конуса как $V_м$ и $H_м$ соответственно.

Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные:
Высота большого конуса: $H_б = 5$ см.
Высота малого конуса: $H_м = 2$ см (поскольку сечение находится на расстоянии 2 см от вершины).
Объём малого конуса: $V_м = 24$ см³.

Когда конус пересекается плоскостью, параллельной основанию, образуется меньший конус, который подобен исходному.

Отношение объёмов подобных трёхмерных фигур равно кубу коэффициента подобия. Коэффициент подобия $k$ равен отношению соответствующих линейных размеров, в данном случае — высот.

Найдём коэффициент подобия $k$:
$k = \frac{H_б}{H_м} = \frac{5}{2}$

Теперь мы можем записать соотношение объёмов:
$\frac{V_б}{V_м} = k^3 = (\frac{H_б}{H_м})^3$

Подставим известные значения в это уравнение:
$\frac{V_б}{24} = (\frac{5}{2})^3$

Выполним вычисления:
$\frac{V_б}{24} = \frac{5^3}{2^3} = \frac{125}{8}$

Теперь выразим и найдём объём большого конуса $V_б$:
$V_б = 24 \cdot \frac{125}{8}$
$V_б = (24 \div 8) \cdot 125$
$V_б = 3 \cdot 125$
$V_б = 375$ см³

Ответ: 375 см³.