Номер 1239, страница 328 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Тела и поверхности вращения - номер 1239, страница 328.

Условие.

1239 Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы равна 8 см и составляет с боковым ребром угол в $30^\circ$. Найдите объём призмы.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Объём призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы. Наибольшая диагональ призмы ($D$), её высота ($h$, равная боковому ребру) и наибольшая диагональ основания ($d$) образуют прямоугольный треугольник, в котором диагональ призмы $D$ является гипотенузой.

По условию, $D = 8$ см, а угол между гипотенузой $D$ и катетом $h$ составляет $30^\circ$. Используя тригонометрические соотношения, найдём длину катетов — высоту призмы и диагональ основания:

Высота призмы: $h = D \cdot \cos(30^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Наибольшая диагональ основания: $d = D \cdot \sin(30^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.

Основанием призмы является правильный шестиугольник. Его сторона $a$ связана с наибольшей диагональю $d$ соотношением $d = 2a$. Отсюда находим сторону основания:

$a = \frac{d}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Площадь правильного шестиугольника вычисляется по формуле $S_{осн} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$. Подставляя значение стороны $a$, получаем:

$S_{осн} = \frac{3 \cdot 2^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 4\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см².

Теперь, зная площадь основания и высоту, можем найти объём призмы:

$V = S_{осн} \cdot h = 6\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} = 24 \cdot (\sqrt{3})^2 = 24 \cdot 3 = 72$ см³.

Ответ: 72 см³.