Номер 1240, страница 328 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Тела и поверхности вращения - номер 1240, страница 328.

Условие.

1240 Изобразите тетраэдр $DABC$, отметьте точку $K$ на ребре $DC$ и точки $M$ и $N$ граней $ABC$ и $ACD$. Постройте сечение тетраэдра плоскостью $MNK$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для построения сечения тетраэдра $DABC$ плоскостью, проходящей через три заданные точки $M$, $N$ и $K$, необходимо найти точки пересечения этой плоскости с ребрами тетраэдра. Для этого воспользуемся методом следов.

1. Построение линии пересечения секущей плоскости $(MNK)$ с плоскостью грани $(ACD)$

По условию, точка $K$ лежит на ребре $DC$, а точка $N$ — в грани $ACD$. Следовательно, обе точки $K$ и $N$ принадлежат плоскости грани $(ACD)$. Также, по определению секущей плоскости, точки $K$ и $N$ принадлежат плоскости $(MNK)$. Таким образом, прямая, проходящая через точки $N$ и $K$, является линией пересечения плоскостей $(MNK)$ и $(ACD)$. Проведем эту прямую $NK$.

2. Построение следа секущей плоскости на плоскости основания $(ABC)$

След плоскости — это прямая ее пересечения с другой плоскостью. Для построения следа секущей плоскости $(MNK)$ на плоскости основания $(ABC)$ необходимо найти две их общие точки.

- Первая точка — это точка $M$, так как по условию $M \in (ABC)$ и $M \in (MNK)$.

- Вторую точку найдем как точку пересечения прямой $NK$ (построенной на шаге 1) и прямой $AC$. Обе эти прямые лежат в одной плоскости $(ACD)$, поэтому они пересекаются (в общем случае). Обозначим их точку пересечения $E$.

$E = NK \cap AC$

Поскольку точка $E$ лежит на прямой $NK$, она принадлежит секущей плоскости $(MNK)$. Поскольку точка $E$ лежит на прямой $AC$, она принадлежит плоскости основания $(ABC)$.

Следовательно, прямая $ME$ является следом секущей плоскости $(MNK)$ на плоскости основания $(ABC)$.

3. Нахождение вершин многоугольника сечения

Вершины сечения — это точки, в которых секущая плоскость пересекает ребра тетраэдра.

- Проведем прямую $ME$ (след на плоскости основания) и найдем ее точки пересечения с ребрами $AB$ и $BC$. Обозначим эти точки $P$ и $R$ соответственно.

$P = ME \cap AB$

$R = ME \cap BC$

Отрезок $PR$ — это сторона сечения, лежащая на грани $ABC$.

- Теперь вернемся к прямой $NK$ (линия пересечения с плоскостью $(ACD)$). Найдем ее точку пересечения с ребром $AD$. Обозначим эту точку $S$.

$S = NK \cap AD$

- Точка $K$ на ребре $DC$ дана по условию. Она также является вершиной сечения.

4. Построение искомого сечения

Мы получили четыре вершины сечения, лежащие на ребрах тетраэдра: $P$ на $AB$, $R$ на $BC$, $K$ на $DC$ и $S$ на $AD$. Последовательно соединим эти точки отрезками, чтобы получить многоугольник сечения:

- $PR$ на грани $(ABC)$.

- $RK$ на грани $(BCD)$ (точки $R \in BC$ и $K \in DC$ лежат в этой плоскости).

- $KS$ на грани $(ACD)$ (точки $K \in DC$ и $S \in AD$ лежат в этой плоскости).

- $SP$ на грани $(ABD)$ (точки $S \in AD$ и $P \in AB$ лежат в этой плоскости).

В результате построения получается четырехугольник $PRKS$, который является искомым сечением.

Ответ: Искомым сечением тетраэдра $DABC$ плоскостью $MNK$ является четырехугольник $PRKS$, вершины которого $P, R, K, S$ являются точками пересечения секущей плоскости с ребрами $AB, BC, DC, AD$ соответственно, и построены согласно описанному выше алгоритму.