Номер 1309, страница 334 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи повышенной трудности. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 14 - номер 1309, страница 334.

Условие.

1309 Докажите, что плоскость, проходящая через ребро и середину противоположного ребра тетраэдра, разделяет его на две части, объёмы которых равны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан тетраэдр $ABCD$. Выберем произвольное ребро, например $AB$, и середину противоположного ему ребра $CD$, которую обозначим точкой $M$. Плоскость, проходящая через ребро $AB$ и точку $M$, — это плоскость $(ABM)$. Эта плоскость разделяет исходный тетраэдр $ABCD$ на два меньших тетраэдра: $ABCM$ и $ABDM$. Нам необходимо доказать, что их объемы равны, то есть $V_{ABCM} = V_{ABDM}$.

Объем тетраэдра (или любой треугольной пирамиды) вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию.

Рассмотрим тетраэдры $ABCM$ и $ABDM$ как пирамиды с общей вершиной $B$ и основаниями $\triangle ACM$ и $\triangle ADM$ соответственно. Оба этих основания лежат в одной плоскости — плоскости грани $(ACD)$. Следовательно, высота, опущенная из общей вершины $B$ на плоскость $(ACD)$, будет одинаковой для обоих тетраэдров. Обозначим эту высоту как $h_B$.

Тогда объемы наших тетраэдров можно выразить следующим образом:
$V_{ABCM} = \frac{1}{3} S_{\triangle ACM} \cdot h_B$
$V_{ABDM} = \frac{1}{3} S_{\triangle ADM} \cdot h_B$

Чтобы доказать равенство объемов, достаточно доказать равенство площадей их оснований: $S_{\triangle ACM} = S_{\triangle ADM}$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ACM$ и $\triangle ADM$ в плоскости $(ACD)$. У этих треугольников есть общая вершина $A$. Их основания $CM$ и $MD$ лежат на одной прямой $CD$. По условию, точка $M$ является серединой ребра $CD$, следовательно, длины этих оснований равны: $CM = MD$. Высота, проведенная из общей вершины $A$ к прямой $CD$, является общей для обоих треугольников. Обозначим ее $h_A$.

Площади треугольников равны:
$S_{\triangle ACM} = \frac{1}{2} \cdot CM \cdot h_A$
$S_{\triangle ADM} = \frac{1}{2} \cdot MD \cdot h_A$

Поскольку $CM = MD$ и высота $h_A$ общая, то площади треугольников равны: $S_{\triangle ACM} = S_{\triangle ADM}$.

Так как площади оснований $S_{\triangle ACM}$ и $S_{\triangle ADM}$ равны, и высота $h_B$ у тетраэдров $ABCM$ и $ABDM$ общая, то их объемы также равны:
$V_{ABCM} = V_{ABDM}$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Объемы двух частей, на которые плоскость делит тетраэдр, равны, так как полученные два тетраэдра имеют общую высоту, проведенную к плоскости, в которой лежат их основания, а площади этих оснований равны между собой.