Страница 48 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

10. Какое из следующих утверждений неверно?

А) вертикальные углы равны

Б) если углы равны, то они вертикальны

В) вертикальные углы имеют общую вершину

Г) стороны вертикальных углов образуют две пары дополнительных лучей

Для того чтобы определить, какое из утверждений неверно, необходимо последовательно проанализировать каждое из них.

А) вертикальные углы равны
Это утверждение является верным. Это одна из фундаментальных теорем геометрии. Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых и всегда равны друг другу. Это можно доказать через свойство смежных углов. Пусть при пересечении двух прямых образовались вертикальные углы $\angle 1$ и $\angle 3$, а также смежный с ними угол $\angle 2$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$, поэтому $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$ и $\angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$. Из этих двух равенств следует, что $\angle 1 = \angle 3$.

Б) если углы равны, то они вертикальны
Это утверждение неверно. Хотя вертикальные углы всегда равны, обратное утверждение не является истиной. Равенство двух углов не является достаточным условием, чтобы они были вертикальными. Существует множество контрпримеров:

• Углы при основании равнобедренного треугольника равны, но не являются вертикальными.
• Все углы в прямоугольнике или квадрате равны $90^\circ$, но они не вертикальные.

Следовательно, это утверждение ложно.

В) вертикальные углы имеют общую вершину
Это утверждение верно. Оно следует непосредственно из определения вертикальных углов. Они образуются в точке пересечения двух прямых, и эта точка является их общей вершиной.

Г) стороны вертикальных углов образуют две пары дополнительных лучей
Это утверждение верно. По определению, стороны одного вертикального угла являются продолжениями сторон другого. Два луча, исходящие из одной точки и образующие прямую, называются дополнительными. Поскольку вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых, их стороны как раз и составляют две пары таких дополнительных лучей.

Таким образом, единственным неверным утверждением из предложенного списка является утверждение Б.
Ответ: Б

10. Какое из следующих утверждений неверно?

А) вертикальные углы равны

Б) если углы равны, то они вертикальны

В) вертикальные углы имеют общую вершину

Г) стороны вертикальных углов образуют две пары дополнительных лучей

11. Какое из следующих утверждений верно?

А) перпендикулярные отрезки всегда имеют общую точку

Б) перпендикулярные лучи всегда имеют общую точку

В) перпендикулярные прямые всегда имеют общую точку

Г) перпендикулярные луч и отрезок всегда имеют общую точку

Для того чтобы определить, какое из утверждений является верным, проанализируем каждое из них.

А) перпендикулярные отрезки всегда имеют общую точку
Два отрезка называются перпендикулярными, если прямые, на которых они лежат, перпендикулярны. Однако сами отрезки могут не пересекаться. Например, отрезок с концами в точках $(1, 0)$ и $(2, 0)$ перпендикулярен отрезку с концами в точках $(0, 1)$ и $(0, 2)$, так как они лежат на перпендикулярных осях координат, но общих точек у них нет. Следовательно, это утверждение неверно.
Ответ: неверно.

Б) перпендикулярные лучи всегда имеют общую точку
Это утверждение также неверно по той же причине. Два луча перпендикулярны, если они лежат на перпендикулярных прямых, но они могут не иметь общей точки. Например, луч, начинающийся в точке $(1, 0)$ и идущий вправо вдоль оси $Ox$, и луч, начинающийся в точке $(0, 1)$ и идущий вверх вдоль оси $Oy$. Прямые, на которых они лежат, перпендикулярны, но сами лучи не пересекаются.
Ответ: неверно.

В) перпендикулярные прямые всегда имеют общую точку
Это утверждение верно. В евклидовой геометрии на плоскости две прямые могут быть либо параллельными (не иметь общих точек), либо пересекаться (иметь одну общую точку). Перпендикулярные прямые по определению являются пересекающимися прямыми, образующими при пересечении прямой угол ($90^\circ$). Таким образом, они всегда имеют одну общую точку.
Ответ: верно.

Г) перпендикулярные луч и отрезок всегда имеют общую точку
Это утверждение неверно. Как и в предыдущих случаях, можно привести контрпример. Отрезок с концами в точках $(1, 0)$ и $(2, 0)$ и луч, начинающийся в точке $(0, 1)$ и идущий вверх вдоль оси $Oy$. Содержащие их прямые перпендикулярны, но сами луч и отрезок не имеют общих точек.
Ответ: неверно.

11. Какое из следующих утверждений верно?

А) перпендикулярные отрезки всегда имеют общую точку

Б) перпендикулярные лучи всегда имеют общую точку

В) перпендикулярные прямые всегда имеют общую точку

Г) перпендикулярные луч и отрезок всегда имеют общую точку