Страница 42 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

143. Из вершины угла $ABC$, равного $70^\circ$, проведены лучи $BD$ и $BF$ так, что $BD \perp BA$, $BF \perp BC$, лучи $BD$ и $BC$ принадлежат углу $ABF$. Найдите углы $DBF$ и $ABF$.

Угол DBF

По условию задачи нам даны следующие величины и условия:
1. $\angle ABC = 70^{\circ}$.
2. Луч $BD$ перпендикулярен лучу $BA$, что означает $\angle ABD = 90^{\circ}$.
3. Луч $BF$ перпендикулярен лучу $BC$, что означает $\angle CBF = 90^{\circ}$.
4. Лучи $BD$ и $BC$ принадлежат углу $ABF$.

Сравним углы $\angle ABD$ и $\angle ABC$. Поскольку $\angle ABD = 90^{\circ}$ и $\angle ABC = 70^{\circ}$, то $\angle ABD > \angle ABC$. Так как у этих углов общая сторона $BA$, то луч $BC$ должен находиться внутри угла $ABD$.
Следовательно, угол $ABD$ можно представить как сумму углов $\angle ABC$ и $\angle CBD$:
$\angle ABD = \angle ABC + \angle CBD$.
Отсюда мы можем выразить и найти угол $CBD$:
$\angle CBD = \angle ABD - \angle ABC = 90^{\circ} - 70^{\circ} = 20^{\circ}$.

Теперь рассмотрим угол $\angle CBF = 90^{\circ}$. Из условия, что лучи $BD$ и $BC$ лежат внутри угла $ABF$, следует, что лучи расположены в порядке $A-C-D-F$ вокруг вершины $B$. Таким образом, угол $\angle CBF$ состоит из суммы углов $\angle CBD$ и $\angle DBF$:
$\angle CBF = \angle CBD + \angle DBF$.
Подставим известные значения:
$90^{\circ} = 20^{\circ} + \angle DBF$.
Теперь найдем искомый угол $DBF$:
$\angle DBF = 90^{\circ} - 20^{\circ} = 70^{\circ}$.
Ответ: $\angle DBF = 70^{\circ}$.

Угол ABF

Угол $ABF$ является суммой смежных углов, из которых он состоит. Исходя из взаимного расположения лучей, его можно вычислить двумя способами.

Способ 1: Сложение углов $\angle ABC$ и $\angle CBF$.
$\angle ABF = \angle ABC + \angle CBF$.
Подставим известные значения:
$\angle ABF = 70^{\circ} + 90^{\circ} = 160^{\circ}$.

Способ 2: Сложение углов $\angle ABD$ и $\angle DBF$.
$\angle ABF = \angle ABD + \angle DBF$.
Подставим известные и ранее вычисленные значения:
$\angle ABF = 90^{\circ} + 70^{\circ} = 160^{\circ}$.

Оба способа дают одинаковый результат, что подтверждает правильность вычислений.
Ответ: $\angle ABF = 160^{\circ}$.

143. Треугольники $ABC$ и $DEF$ равны, стороны $AB$ и $DE$, $BC$ и $DF$ соответственные, $\angle B = 32^\circ$. Найдите $\angle D$.

144. Из вершины угла $ABC$, равного $130^\circ$, проведены лучи $BD$ и $BF$ так, что $BD \perp AB$, $BF \perp BC$, луч $BF$ принадлежит углу $ABC$, луч $BA$ принадлежит углу $DBF$. Найдите угол $DBF$.

Согласно условию задачи, луч $BF$ принадлежит углу $ABC$. Это означает, что угол $ABC$ складывается из двух углов: $∠ABF$ и $∠FBC$.

$∠ABC = ∠ABF + ∠FBC$

Мы знаем, что $∠ABC = 130°$. Также из условия известно, что $BF ⊥ BC$, следовательно, угол между ними прямой, то есть $∠FBC = 90°$.

Подставив известные значения в формулу, мы можем найти величину угла $∠ABF$:
$130° = ∠ABF + 90°$
$∠ABF = 130° - 90° = 40°$

Далее в условии сказано, что луч $BA$ принадлежит углу $DBF$. Это значит, что угол $DBF$ является суммой углов $∠DBA$ и $∠ABF$.

$∠DBF = ∠DBA + ∠ABF$

Из условия мы знаем, что $BD ⊥ AB$, что означает $∠DBA = 90°$. Угол $∠ABF$ мы уже вычислили, он равен $40°$.

Теперь найдем искомый угол $∠DBF$:
$∠DBF = 90° + 40° = 130°$

Ответ: $130°$

144. Треугольники $ABC$ и $KTM$ равны, углы $A$ и $M$, $B$ и $K$ соответственные, $\angle C = 40^\circ$, $MK = 5 \text{ см}$. Найдите угол $T$ и сторону $AB$.

145. Пользуясь угольником и шаблоном угла, равного $17^{\circ}$, постройте угол, равный:

1) $5^{\circ}$;

2) $12^{\circ}$.

1) 5°

Для построения угла в $5^\circ$ необходимо найти способ выразить $5^\circ$ через комбинацию сложения и вычитания углов $17^\circ$ (из шаблона) и $90^\circ$ (из угольника). Мы можем заметить, что $5$ раз по $17^\circ$ дают $85^\circ$, что очень близко к $90^\circ$. Таким образом, искомый угол можно получить как разность прямого угла и пяти углов по $17^\circ$.

Математически это выглядит так: $5 \cdot 17^\circ = 85^\circ$.
Искомый угол: $90^\circ - 85^\circ = 5^\circ$.

Порядок построения:

1. Начертить произвольный луч с началом в точке O.
2. С помощью угольника построить от этого луча прямой угол, равный $90^\circ$. Обозначим его $\angle AOB = 90^\circ$.
3. От луча OA внутрь угла $\angle AOB$ последовательно отложить 5 раз угол, равный $17^\circ$, используя шаблон. Каждый новый угол откладывается от стороны предыдущего.
4. В результате будет построен угол $\angle AOC = 5 \cdot 17^\circ = 85^\circ$.
5. Угол $\angle COB$, оставшийся между стороной OB прямого угла и стороной OC построенного угла, и будет искомым углом: $\angle COB = \angle AOB - \angle AOC = 90^\circ - 85^\circ = 5^\circ$.

Ответ: Угол $5^\circ$ строится как разность между прямым углом ($90^\circ$) и углом, полученным пятикратным сложением угла $17^\circ$.

2) 12°

Аналогично первому пункту, найдем комбинацию углов $17^\circ$ и $90^\circ$, которая даст в результате $12^\circ$. Рассмотрим, какой угол получится, если сложить несколько углов по $17^\circ$.

Математически это выглядит так: $6 \cdot 17^\circ = 102^\circ$.
Этот угол больше прямого угла на $102^\circ - 90^\circ = 12^\circ$.

Порядок построения:

1. Начертить произвольный луч с началом в точке O.
2. От этого луча последовательно отложить 6 раз угол, равный $17^\circ$, используя шаблон. В результате будет построен угол $\angle AOD = 6 \cdot 17^\circ = 102^\circ$.
3. От первоначального луча OA внутрь построенного угла $\angle AOD$ отложить прямой угол $\angle AOK = 90^\circ$ с помощью угольника.
4. Угол $\angle KOD$, который является разностью между углом $102^\circ$ и прямым углом, и будет искомым: $\angle KOD = \angle AOD - \angle AOK = 102^\circ - 90^\circ = 12^\circ$.

Ответ: Угол $12^\circ$ строится как разность между углом, полученным шестикратным сложением угла $17^\circ$, и прямым углом ($90^\circ$).

145. Верно ли утверждение:

1) если треугольники равны, то их периметры также равны;

2) если периметры двух треугольников равны, то и сами треугольники равны?

146. Пользуясь угольником и шаблоном угла, равного $20^\circ$, постройте угол, равный $10^\circ$.

Для построения угла в $10^\circ$ с помощью угольника и шаблона в $20^\circ$ можно использовать метод вычитания углов. Построение выполняется в несколько шагов:

1. С помощью угольника построим прямой угол. Обозначим его вершину как $O$, а стороны — как лучи $OA$ и $OB$. Таким образом, мы имеем $\angle AOB = 90^\circ$.

2. Далее, используя шаблон, построим угол в $80^\circ$. Для этого, начиная от луча $OA$ и откладывая углы внутрь прямого угла, построим четыре угла по $20^\circ$ подряд. Сначала отложим $\angle AOC = 20^\circ$. Затем, от луча $OC$, отложим $\angle COD = 20^\circ$. Продолжая аналогично, построим $\angle DOE = 20^\circ$ и $\angle EOF = 20^\circ$.

3. Суммарный угол, отложенный от луча $OA$, будет равен $\angle AOF = \angle AOC + \angle COD + \angle DOE + \angle EOF = 4 \times 20^\circ = 80^\circ$.

4. Искомый угол в $10^\circ$ образуется как разность между первоначальным прямым углом $\angle AOB$ и построенным углом $\angle AOF$. Этот угол — $\angle FOB$. Его величина равна:
$\angle FOB = \angle AOB - \angle AOF = 90^\circ - 80^\circ = 10^\circ$.

Таким образом, угол $\angle FOB$ является искомым углом.

Ответ: Угол в $10^\circ$ строится как разность между прямым углом ($90^\circ$), который строится с помощью угольника, и углом в $80^\circ$, который строится путем четырехкратного сложения угла в $20^\circ$ с помощью шаблона.

146. Какие из элементов треугольника – биссектриса, медиана, высота – всегда принадлежат треугольнику?

147. На рисунке 118 прямая пересекает все стороны восьмиугольника. Может ли прямая пересекать все стороны тринадцатиугольника, не проходя ни через одну из его вершин?

Рис. 118

Рассмотрим произвольную прямую, которая не проходит ни через одну из вершин многоугольника. Такая прямая делит всю плоскость на две открытые полуплоскости.

Когда мы движемся по контуру многоугольника, при пересечении одной из его сторон наша прямая-секущая заставляет нас переходить из одной полуплоскости в другую. Для того чтобы прямая пересекла сторону многоугольника, ее концы (то есть, две соседние вершины многоугольника) должны находиться в разных полуплоскостях.

Многоугольник представляет собой замкнутую ломаную линию. Это означает, что если мы начнем обход из какой-либо вершины, мы в конечном итоге вернемся в ту же самую вершину. Для того чтобы вернуться в исходную полуплоскость, необходимо совершить четное число переходов из одной полуплоскости в другую и обратно. Следовательно, любая прямая, не проходящая через вершины, может пересекать стороны многоугольника только четное число раз.

Например, на рисунке 118 показано, как прямая пересекает 8 сторон восьмиугольника. Число 8 — четное, поэтому такая ситуация возможна.

В задаче речь идет о тринадцатиугольнике, у которого 13 сторон. Число 13 является нечетным. Исходя из вышеизложенного, прямая не может пересечь нечетное число сторон многоугольника. Таким образом, прямая не может пересечь все 13 сторон тринадцатиугольника.

Ответ: нет, не может.

147. Какой из элементов треугольника — биссектриса, медиана, высота — может совпадать с его стороной? Укажите вид треугольника, для которого это возможно.