Страница 40 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

125. Перерисуйте в тетрадь рисунок 110. Пользуясь угольником, опустите из точки $M$ перпендикуляр на прямую $a$. Проведите из точки $M$ две какие-нибудь наклонные к прямой $a$.

Рис. 110

Для выполнения этого задания необходимо сначала перерисовать в тетрадь прямую a и точку M, не лежащую на этой прямой, как показано на рисунке. Затем последовательно выполнить следующие построения с помощью чертежных инструментов.

Построение перпендикуляра

Чтобы опустить перпендикуляр из точки M на прямую a, используется чертежный угольник (треугольник с прямым углом).

1. Приложите одну из сторон угольника, образующих прямой угол, к прямой a.
2. Перемещайте угольник вдоль прямой a до тех пор, пока вторая сторона прямого угла не пройдет через точку M.
3. Проведите отрезок от точки M до прямой a вдоль второй стороны угольника. Обозначьте точку пересечения с прямой a буквой H.

Полученный отрезок MH является перпендикуляром, опущенным из точки M на прямую a. Это значит, что угол между отрезком MH и прямой a равен $90^\circ$, что записывается как $MH \perp a$. Точка H называется основанием перпендикуляра.

Ответ: Построен отрезок MH, где точка H лежит на прямой a, и $MH \perp a$.

Построение двух наклонных

Наклонная — это любой отрезок, который соединяет точку M с точкой на прямой a и не является перпендикуляром.

1. Выберите на прямой a две любые точки, не совпадающие с точкой H (основанием перпендикуляра). Назовем их, к примеру, K и L.
2. С помощью линейки соедините точку M с точкой K. Отрезок MK — это первая наклонная.
3. Аналогично соедините точку M с точкой L. Отрезок ML — это вторая наклонная.

Отрезки MK и ML являются наклонными, проведенными из точки M к прямой a. Они образуют с прямой a углы, отличные от $90^\circ$.

Ответ: Построены отрезки MK и ML, где K и L — произвольные точки на прямой a, которые не совпадают с точкой H.

125. Угол $ABC$ равен $160^\circ$, лучи $BK$ и $BM$ проходят между сторонами этого угла и перпендикулярны им. Найдите угол $MBK$.

126. Проведите прямую $c$ и отметьте на ней точку $K$. Пользуясь угольником, проведите через точку $K$ прямую, перпендикулярную прямой $c$.

Для построения перпендикулярной прямой через точку на прямой с помощью угольника необходимо выполнить следующие действия:

Шаг 1. С помощью линейки проведите произвольную прямую линию. Обозначьте эту прямую буквой $c$. Затем отметьте на этой прямой любую точку и обозначьте её буквой $K$.

Шаг 2. Возьмите чертёжный угольник. Угольник имеет форму прямоугольного треугольника, то есть один из его углов прямой ($90^\circ$). Приложите угольник одной из его сторон, образующих прямой угол (катетом), к прямой $c$.

Шаг 3. Перемещайте угольник вдоль прямой $c$ до тех пор, пока вторая сторона угольника, образующая прямой угол, не поравняется с точкой $K$. Точка $K$ должна оказаться на этой стороне угольника.

Шаг 4. Крепко удерживая угольник в этом положении, проведите карандашом линию вдоль второй стороны угольника. Эта линия должна пройти через точку $K$. Назовите новую прямую, например, $m$.

Ответ: Построенная прямая $m$ является искомой, так как она проходит через точку $K$ и перпендикулярна прямой $c$ ($m \perp c$). Это обеспечивается использованием прямого угла чертёжного угольника при построении.

126. На рисунке 105 $BF \perp AC$, $BD \perp BK$. Докажите, что $\angle ABD = \angle FBK$.

Рис. 103

Рис. 104

Рис. 105

127. Проведите прямую $d$ и отметьте точку $M$, не принадлежащую ей. С помощью угольника опустите из точки $M$ перпендикуляр на прямую $d$. Проведите из точки $M$ какие-нибудь две наклонные к прямой $d$.

Для выполнения данного задания необходимо последовательно выполнить несколько шагов геометрического построения.

1. Проведение прямой d и отметка точки M

Сначала с помощью линейки начертим произвольную прямую линию и обозначим её буквой $d$. Затем в любом месте на плоскости, но не на самой прямой, отметим точку и назовем её $M$. Это означает, что точка $M$ не принадлежит прямой $d$, что математически записывается как $M \notin d$.

2. Построение перпендикуляра из точки M на прямую d

Чтобы опустить перпендикуляр из точки $M$ на прямую $d$, воспользуемся чертежным угольником. Построение выполняется следующим образом:

• Прикладываем угольник одной из его сторон, образующих прямой угол (катетом), к прямой $d$.
• Перемещаем угольник вдоль прямой $d$ до тех пор, пока вторая сторона, образующая прямой угол, не пройдет через точку $M$.
• Проводим по этой стороне угольника отрезок, соединяя точку $M$ с точкой на прямой $d$. Обозначим точку их пересечения буквой $H$.

Полученный отрезок $MH$ является перпендикуляром, опущенным из точки $M$ на прямую $d$. Угол между отрезком $MH$ и прямой $d$ составляет $90^\circ$. Этот факт записывается как $MH \perp d$. Точка $H$ называется основанием перпендикуляра.

3. Проведение двух наклонных из точки M к прямой d

Наклонная, проведенная из точки к прямой, — это любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой на прямой, который не является перпендикуляром.

• Выберем на прямой $d$ две произвольные точки, не совпадающие с точкой $H$. Обозначим их, например, буквами $A$ и $B$.
• С помощью линейки соединим точку $M$ с точкой $A$ и точку $M$ с точкой $B$.

Полученные отрезки $MA$ и $MB$ являются наклонными, проведенными из точки $M$ к прямой $d$. Точки $A$ и $B$ называются основаниями наклонных.

Результат всех выполненных построений представлен на итоговом чертеже:

Ответ: На чертеже выше выполнены все требуемые построения: проведена прямая $d$ и точка $M$, не лежащая на ней; из точки $M$ опущен перпендикуляр $MH$ на прямую $d$; проведены две наклонные $MA$ и $MB$ из точки $M$ к прямой $d$.

Рис. 103 Рис. 104 Рис. 105

127. На рисунке 105 $∠ABD = ∠FBK$, $∠DBF = ∠KBC$. Докажите, что $BF \perp AC$.

128. Начертите угол $ABK$, равный:

1) $73^\circ$

2) $146^\circ$

Отметьте на луче $BK$ точку $C$ и проведите через неё прямые, перпендикулярные прямым $AB$ и $BK$.

1)

Для решения задачи выполним следующие построения для угла $\angle ABK = 73^\circ$.
1. С помощью линейки начертим произвольный луч BA.
2. С помощью транспортира построим угол $\angle ABK$, равный $73^\circ$. Для этого приложим транспортир центром к точке B (вершине угла) так, чтобы его основание совпало с лучом BA. На шкале транспортира найдем отметку $73^\circ$ и поставим в этом месте точку. Назовем ее K.
3. Проведем луч BK. Полученный угол $\angle ABK$ является искомым.
4. На луче BK выберем произвольную точку и обозначим ее буквой C.
5. Теперь необходимо провести прямую через точку C, перпендикулярную прямой BK. Для этого воспользуемся угольником. Приложим одну из сторон угольника, образующих прямой угол, к прямой BK. Будем двигать угольник вдоль прямой BK до тех пор, пока вторая его сторона не пройдет через точку C. Прочертим по этой стороне прямую. Эта прямая, проходящая через C, перпендикулярна прямой BK.
6. Аналогичным образом проведем прямую через точку C, перпендикулярную прямой AB. Приложим одну сторону угольника к прямой AB и будем двигать его, пока вторая сторона не пройдет через точку C. Проведем по этой стороне прямую. Она будет перпендикулярна прямой AB.
Таким образом, все требуемые построения выполнены.
Ответ: Построение выполнено.

2)

Для решения задачи выполним следующие построения для угла $\angle ABK = 146^\circ$.
1. С помощью линейки начертим произвольный луч BA.
2. С помощью транспортира построим угол $\angle ABK$, равный $146^\circ$. Приложим центр транспортира к точке B, а его основание совмемстим с лучом BA. На шкале транспортира найдем отметку $146^\circ$ и поставим точку K.
3. Проведем луч BK. Полученный тупой угол $\angle ABK$ является искомым.
4. На луче BK выберем и отметим произвольную точку C.
5. Проведем через точку C прямую, перпендикулярную прямой BK. Используя угольник, совместим одну из его сторон, образующих прямой угол, с прямой BK. Подвинем угольник так, чтобы вторая его сторона прошла через точку C. Проведем по этой стороне прямую. Эта прямая будет перпендикулярна BK.
6. Аналогично проведем прямую через точку C, перпендикулярную прямой AB. Приложим одну сторону угольника к прямой AB, а по второй его стороне, проходящей через точку C, проведем прямую. Эта прямая будет перпендикулярна AB.
Таким образом, все требуемые построения выполнены.
Ответ: Построение выполнено.

128. Из вершины угла $ABC$, равного $70^\circ$, проведены лучи $BD$ и $BF$ так, что $BD \perp BA$, $BF \perp BC$, лучи $BD$ и $BC$ принадлежат углу $ABF$. Найдите углы $DBF$ и $ABF$.

129. Начертите два перпендикулярных отрезка так, чтобы они:

1) пересекались и не имели общего конца;

2) не имели общих точек;

3) имели общий конец.

Задача состоит в том, чтобы начертить два перпендикулярных отрезка, удовлетворяющих трем различным условиям их взаимного расположения. Перпендикулярные отрезки — это отрезки, лежащие на прямых, которые пересекаются под прямым углом ($90^\circ$).

1) пересекались и не имели общего конца

Для выполнения этого условия необходимо, чтобы точка пересечения отрезков была внутренней точкой для каждого из них. Это значит, что точка пересечения не должна совпадать ни с одним из концов обоих отрезков. Визуально это выглядит как знак "плюс".

Порядок построения:

1. Начертите отрезок AB.
2. Выберите на нем любую точку O, не совпадающую с точками A и B.
3. С помощью угольника или циркуля проведите через точку O прямую, перпендикулярную отрезку AB.
4. На этой перпендикулярной прямой отложите отрезок CD так, чтобы точка O находилась между C и D.

В результате отрезки AB и CD будут перпендикулярны ($AB \perp CD$), их единственная общая точка — точка O, которая не является концом ни для одного из отрезков.

Пример на рисунке:

Ответ: Начертить два отрезка, пересекающихся в виде знака "плюс" (+), так, чтобы точка пересечения не была концом ни одного из отрезков.

2) не имели общих точек

В этом случае отрезки лежат на перпендикулярных прямых, но сами не пересекаются и не касаются друг друга. То есть, между отрезками существует некоторое расстояние.

Порядок построения:

1. Начертите прямую и на ней отрезок AB.
2. Проведите вторую прямую, перпендикулярную первой, так, чтобы она не пересекала отрезок AB.
3. На второй прямой отметьте отрезок CD.

Прямые, содержащие отрезки, будут перпендикулярны, но сами отрезки не будут иметь общих точек.

Пример на рисунке:

Ответ: Начертить два отрезка, лежащих на взаимно перпендикулярных прямых, но расположенных так, что они не соприкасаются.

3) имели общий конец

Это означает, что отрезки должны начинаться из одной точки и образовывать прямой угол. Точка пересечения содержащих их прямых является общим концом для обоих отрезков.

Порядок построения:

1. Начертите отрезок OA.
2. Из точки O (которая является концом отрезка) с помощью угольника постройте перпендикулярный отрезок OB.

Отрезки OA и OB будут перпендикулярны ($OA \perp OB$) и будут иметь общий конец — точку O. Фигура будет напоминать букву "L".

Пример на рисунке:

Ответ: Начертить два отрезка, выходящих из одной общей точки под прямым углом друг к другу.

129. Пользуясь угольником и шаблоном угла $17^\circ$, постройте угол, равный:

1) $5^\circ$;

2) $12^\circ$.

130. Начертите два перпендикулярных луча так, чтобы они:

1) пересекались;

2) не имели общих точек.

Два луча называются перпендикулярными, если прямые, на которых они лежат, перпендикулярны. Чтобы перпендикулярные лучи пересекались, они должны иметь хотя бы одну общую точку. Самый простой и наглядный случай — когда у лучей общее начало.

Для построения таких лучей нужно выполнить следующие шаги:
1. Отметить на плоскости точку, назовем ее O. Эта точка будет общим началом для обоих лучей.
2. Из точки O провести произвольный луч, например, луч OA.
3. С помощью угольника или транспортира построить угол, равный $90^\circ$, с вершиной в точке O, одной стороной которого является луч OA.
4. Провести второй луч OB по другой стороне построенного угла.

В результате лучи OA и OB будут перпендикулярны и будут пересекаться в точке O.

Ответ: Пример построения показан на рисунке выше. Два перпендикулярных луча OA и OB пересекаются в своем общем начале O, образуя прямой угол $\angle AOB = 90^\circ$.

Чтобы два перпендикулярных луча не имели общих точек, они должны лежать на перпендикулярных прямых, но быть расположены так, чтобы их множества точек не пересекались.

Для построения таких лучей можно действовать следующим образом:
1. Начертить две взаимно перпендикулярные прямые, $m$ и $n$, которые пересекаются в точке P.
2. На прямой $m$ выбрать любую точку A, не совпадающую с точкой P. Провести из точки A луч, лежащий на прямой $m$ и не содержащий точку P.
3. На прямой $n$ выбрать любую точку B, не совпадающую с точкой P. Провести из точки B луч, лежащий на прямой $n$ и не содержащий точку P.

Полученные лучи будут перпендикулярны, так как лежат на перпендикулярных прямых, но не будут иметь общих точек.

Ответ: Пример построения показан на рисунке выше. Лучи, начинающиеся в точках A и B, лежат на перпендикулярных прямых $m$ и $n$, но не имеют общих точек.

130. Пользуясь угольником и шаблоном угла $20^\circ$, постройте угол, равный $10^\circ$.

131. Прикладывая угольник то одной, то другой стороной, ученик через точку $A$ провёл два перпендикуляра к прямой $a$ (рис. 111). Что можно сказать об этом угольнике?

Рис. 111

Согласно аксиоме планиметрии, через любую точку, лежащую на прямой, можно провести перпендикулярную ей прямую, и притом только одну.

В условии задачи говорится, что ученик, используя угольник, провёл через точку A на прямой a два различных перпендикуляра. Поскольку через точку A можно провести только один-единственный перпендикуляр к прямой a, это означает, что по крайней мере одна из построенных прямых (а скорее всего, обе) на самом деле не является перпендикуляром.

Такая ситуация могла возникнуть только в том случае, если инструмент, который использовался для построения — угольник — имеет дефект. Угольники используются для построения прямых углов. Ученик, вероятно, прикладывал угольник к прямой a разными способами, используя один и тот же его угол для построения перпендикуляра. Если бы этот угол был прямым, то есть равным $90^{\circ}$, то в результате всех построений получалась бы одна и та же прямая — истинный перпендикуляр.

Поскольку ученик получил две разные прямые, можно сделать вывод, что тот угол угольника, который должен быть прямым, на самом деле не равен $90^{\circ}$. Например, если величина этого угла равна $\alpha$, то прикладывая одну сторону этого угла к прямой a, ученик строит прямую под углом $\alpha$ к прямой a. Если затем перевернуть угольник и повторить построение, то новая линия образует с прямой a угол, равный $180^{\circ} - \alpha$. Эти две прямые совпадут (то есть будут одной и той же прямой) только при условии, что $\alpha = 180^{\circ} - \alpha$, что эквивалентно $2\alpha = 180^{\circ}$, или $\alpha = 90^{\circ}$. Так как полученные прямые различны, можно сделать вывод, что $\alpha \neq 90^{\circ}$.

Ответ: Угол этого угольника, который должен быть прямым, на самом деле не равен $90^{\circ}$, то есть угольник является неточным.

Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте

Рис. 106

131. На рисунке 106 прямая пересекает все стороны восьмиугольника. Может ли прямая пересекать все стороны тринадцатиугольника, не проходя ни через одну из его вершин?

132. Может ли угол между пересекающимися прямыми быть равным:

1) $1^\circ$;

2) $90^\circ$;

3) $92^\circ$?

Углом между двумя пересекающимися прямыми по определению является величина меньшего из углов, образованных при их пересечении. При пересечении двух прямых образуются смежные углы, сумма которых равна $180^\circ$. Пусть один из углов равен $\alpha$, тогда смежный с ним равен $180^\circ - \alpha$. Угол между прямыми будет равен наименьшему из этих двух значений. Следовательно, угол между пересекающимися прямыми не может быть тупым, то есть он всегда находится в промежутке $(0^\circ, 90^\circ]$.

1) 1°

Да, может. Значение $1^\circ$ удовлетворяет условию $0^\circ < 1^\circ \le 90^\circ$. Если один из углов при пересечении прямых равен $1^\circ$, то смежный с ним угол равен $180^\circ - 1^\circ = 179^\circ$. Меньший из этих углов — $1^\circ$, что и является углом между прямыми.
Ответ: да.

2) 90°

Да, может. Значение $90^\circ$ является максимально возможным для угла между прямыми. В этом случае все четыре угла, образованные при пересечении, являются прямыми. Такие прямые называются перпендикулярными.
Ответ: да.

3) 92°

Нет, не может. Угол между пересекающимися прямыми не может быть больше $90^\circ$. Если при пересечении прямых один из образовавшихся углов равен $92^\circ$ (тупой угол), то смежный с ним угол равен $180^\circ - 92^\circ = 88^\circ$ (острый угол). По определению, углом между этими прямыми будет считаться величина меньшего, то есть острого угла, равного $88^\circ$.
Ответ: нет.

132. Начертите треугольник:

1) остроугольный;

2) прямоугольный;

3) тупоугольный.

Проведите из каждой вершины треугольника высоту.

133. Иван начертил две пересекающиеся прямые, с помощью транспортира определил, что один из углов, образовавшихся при пересечении прямых, равен $110^\circ$, и сказал, что угол между этими прямыми равен $110^\circ$. Прав ли Иван? Ответ обоснуйте.

Иван неправ.

При пересечении двух прямых образуются четыре угла: две пары равных между собой вертикальных углов и четыре пары смежных углов, сумма которых равна $180°$.

Если один из углов, как измерил Иван, равен $110°$, то смежный с ним угол будет равен:

$180° - 110° = 70°$

Таким образом, при пересечении этих двух прямых образовались два угла по $110°$ и два угла по $70°$.

По определению, углом между двумя пересекающимися прямыми называется величина меньшего из углов, образованных этим пересечением. Величина угла между прямыми не может превышать $90°$.

В данном случае меньший из углов равен $70°$. Следовательно, именно эта величина и является углом между прямыми.

Ответ: Иван неправ. Углом между прямыми по определению является меньший из образовавшихся углов, который равен $70°$, а не $110°$.

133. Перерисуйте в тетрадь рисунок 120, проведите высоту, общую для трёх изображённых треугольников. У какого из них эта высота расположена вне треугольника?

Рис. 120