Номер 140, страница 41 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 5. Перпендикулярные прямые. Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства - номер 140, страница 41.

140. Угол $ABC$ равен $160^\circ$, лучи $BK$ и $BM$ проходят между сторонами этого угла и перпендикулярны им. Найдите угол $MBK$.

По условию задачи, дан угол $\angle ABC = 160^{\circ}$. Лучи BK и BM проходят между его сторонами BA и BC, то есть находятся внутри этого угла. Также известно, что лучи BK и BM перпендикулярны сторонам угла. Это означает, что один из лучей перпендикулярен стороне BA, а другой — стороне BC. Неважно, какой именно луч какой стороне перпендикулярен, результат будет одинаковым. Для определенности, пусть луч BK перпендикулярен стороне BA, а луч BM — стороне BC.

Из условия перпендикулярности имеем:
$BK \perp BA \implies \angle ABK = 90^{\circ}$
$BM \perp BC \implies \angle CBM = 90^{\circ}$

Поскольку лучи BK и BM находятся внутри угла $\angle ABC$, мы можем использовать аксиому о сложении углов.

Весь угол $\angle ABC$ состоит из угла $\angle ABM$ и угла $\angle CBM$.
$\angle ABC = \angle ABM + \angle CBM$. Но это неверно.Правильное разложение:$\angle ABC = \angle ABM + \angle MBC$.Из этого равенства, зная $\angle ABC$ и $\angle MBC$ (он же $\angle CBM$), найдем $\angle ABM$:
$\angle ABM = \angle ABC - \angle CBM = 160^{\circ} - 90^{\circ} = 70^{\circ}$.

Теперь рассмотрим угол $\angle ABK$. Он состоит из двух смежных углов: $\angle ABM$ и искомого угла $\angle MBK$.
$\angle ABK = \angle ABM + \angle MBK$.

Мы знаем величины углов $\angle ABK$ и $\angle ABM$, поэтому можем найти $\angle MBK$:
$90^{\circ} = 70^{\circ} + \angle MBK$
$\angle MBK = 90^{\circ} - 70^{\circ} = 20^{\circ}$.

Этот же результат можно получить, если рассмотреть угол $\angle CBM$.Сначала найдем $\angle KBC$:
$\angle KBC = \angle ABC - \angle ABK = 160^{\circ} - 90^{\circ} = 70^{\circ}$.
Теперь разложим угол $\angle CBM$:
$\angle CBM = \angle MBK + \angle KBC$
$90^{\circ} = \angle MBK + 70^{\circ}$
$\angle MBK = 90^{\circ} - 70^{\circ} = 20^{\circ}$.

Ответ: $20^{\circ}$

140. Стороны треугольника относятся как 5 : 7 : 11, а сумма наибольшей и наименьшей сторон равна 80 см. Вычислите периметр треугольника.