Страница 41 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

134. Прямые $EF$ и $MK$ пересекаются в точке $A$, $\angle EAK = 142^\circ$ (рис. 112). Найдите угол между прямыми $EF$ и $MK$.

Рис. 112

При пересечении двух прямых образуются смежные и вертикальные углы. Сумма смежных углов равна $180^\circ$, а вертикальные углы равны между собой.

По условию задачи, прямые $EF$ и $MK$ пересекаются в точке $A$. Нам дан один из углов, образованных при пересечении: $\angle EAK = 142^\circ$.

Углы $\angle EAK$ и $\angle KAF$ являются смежными, так как их стороны $AE$ и $AF$ лежат на одной прямой $EF$. Следовательно, их сумма равна $180^\circ$.

$\angle EAK + \angle KAF = 180^\circ$

Чтобы найти $\angle KAF$, вычтем из $180^\circ$ известный угол $\angle EAK$:

$\angle KAF = 180^\circ - \angle EAK = 180^\circ - 142^\circ = 38^\circ$

При пересечении прямых $EF$ и $MK$ образуются две пары вертикальных углов: $\angle EAK = \angle MAF = 142^\circ$ и $\angle KAF = \angle EAM = 38^\circ$.

Углом между двумя пересекающимися прямыми называется наименьший из углов, образованных при их пересечении. Сравнивая полученные углы, видим, что наименьший из них равен $38^\circ$.

Ответ: $38^\circ$

134. Перерисуйте в тетрадь треугольники, изображённые на рисунке 121, проведите в каждом из них три высоты.

Рис. 121

а

б

в

135. Считая, что длина стороны клетки равна 0,5 см, найдите расстояние от точки $M$ до прямой $AB$ (рис. 113).

Рис. 113

а

б

а

Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. На рисунке `а` точки A и B лежат на одной вертикальной линии сетки, значит, прямая AB является вертикальной. Перпендикуляр из точки M к прямой AB будет представлять собой горизонтальный отрезок. Из рисунка видно, что длина этого отрезка равна 2 клеткам. Так как длина стороны одной клетки составляет 0,5 см, то искомое расстояние равно:

$2 \times 0,5 = 1$ см.

Ответ: 1 см.

б

На рисунке `б` точки A и B лежат на одной горизонтальной линии сетки, следовательно, прямая AB является горизонтальной. Перпендикуляром из точки M к прямой AB будет вертикальный отрезок. Посчитав клетки, определяем, что длина этого перпендикуляра составляет 2 клетки. Учитывая, что длина стороны клетки равна 0,5 см, находим расстояние от точки M до прямой AB:

$2 \times 0,5 = 1$ см.

Ответ: 1 см.

135. Начертите произвольный треугольник и проведите все его медианы.

136. Считая, что длина стороны клетки равна 0,5 см, найдите расстояние от точки $O$ до прямой $CD$ (рис. 114).

Рис. 114

а

б

а

Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

На рисунке а точки C и D расположены на одной вертикальной линии сетки, следовательно, прямая CD вертикальна.

Перпендикуляром из точки O на прямую CD будет горизонтальный отрезок. Длину этого отрезка можно найти, посчитав количество клеток по горизонтали от точки O до прямой CD. Это расстояние составляет 2 клетки.

По условию, длина стороны одной клетки равна 0,5 см. Чтобы найти искомое расстояние в сантиметрах, умножим количество клеток на длину стороны одной клетки:

$2 \times 0,5 \text{ см} = 1 \text{ см}$.

Ответ: 1 см.

б

На рисунке б точки C и D расположены на одной горизонтальной линии сетки, следовательно, прямая CD горизонтальна.

Перпендикуляром из точки O на прямую CD будет вертикальный отрезок. Его длина в клетках равна количеству клеток по вертикали от точки O до прямой CD. Это расстояние составляет 3 клетки.

Учитывая, что длина стороны одной клетки равна 0,5 см, найдем искомое расстояние:

$3 \times 0,5 \text{ см} = 1,5 \text{ см}$.

Ответ: 1,5 см.

136. Начертите произвольный треугольник и проведите все его биссектрисы.

137. Докажите, что если биссектрисы углов $\angle AOB$ и $\angle BOC$ перпендикулярны, то точки A, O и C лежат на одной прямой.

Пусть $OD$ — биссектриса угла $ \angle AOB $, а $OE$ — биссектриса угла $ \angle BOC $. Углы $ \angle AOB $ и $ \angle BOC $ являются смежными, так как у них общая вершина $O$ и общая сторона $OB$.

По определению биссектрисы угла, она делит угол на два равных угла. Следовательно, мы можем записать:
$ \angle DOB = \frac{1}{2} \angle AOB $
$ \angle BOE = \frac{1}{2} \angle BOC $
Отсюда можно выразить полные углы через их половины:
$ \angle AOB = 2 \cdot \angle DOB $
$ \angle BOC = 2 \cdot \angle BOE $

По условию задачи, биссектрисы $OD$ и $OE$ перпендикулярны. Это означает, что угол между ними, $ \angle DOE $, равен $ 90^\circ $.
$ \angle DOE = 90^\circ $

Угол $ \angle DOE $ состоит из суммы углов $ \angle DOB $ и $ \angle BOE $, так как луч $OB$ проходит между лучами $OD$ и $OE$.
$ \angle DOE = \angle DOB + \angle BOE $
Таким образом, мы получаем равенство:
$ \angle DOB + \angle BOE = 90^\circ $

Чтобы доказать, что точки A, O и C лежат на одной прямой, необходимо показать, что угол $ \angle AOC $ является развернутым, то есть его градусная мера равна $ 180^\circ $. Угол $ \angle AOC $ складывается из углов $ \angle AOB $ и $ \angle BOC $:
$ \angle AOC = \angle AOB + \angle BOC $

Теперь подставим в это выражение равенства для $ \angle AOB $ и $ \angle BOC $, которые мы получили из определения биссектрис:
$ \angle AOC = (2 \cdot \angle DOB) + (2 \cdot \angle BOE) $
Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$ \angle AOC = 2 \cdot (\angle DOB + \angle BOE) $

Ранее мы установили, что $ \angle DOB + \angle BOE = 90^\circ $. Подставим это значение в полученное выражение для $ \angle AOC $:
$ \angle AOC = 2 \cdot 90^\circ = 180^\circ $

Так как величина угла $ \angle AOC $ составляет $ 180^\circ $, этот угол является развернутым. По определению развернутого угла, его стороны (лучи $OA$ и $OC$) образуют прямую линию. Следовательно, точки A, O и C лежат на одной прямой.

Ответ: Что и требовалось доказать.

137. Начертите произвольный треугольник, обозначьте его вершины буквами $M$, $K$ и $E$. Укажите:

1) сторону, противолежащую углу $M$;

2) угол, противолежащий стороне $MK$;

3) стороны, прилежащие к углу $K$;

4) углы, прилежащие к стороне $KE$.

Рис. 122

138. На рисунке 115 $AB \perp CD$, $\angle COK = 42^{\circ}$, $\angle MOC + \angle BOK = 130^{\circ}$. Найдите:

1) $\angle MOK$

2) $\angle MOD$

Рис. 115

1) ∠MOK

По условию задачи прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны, то есть $AB \perp CD$. Это означает, что углы, образованные их пересечением, равны $90^\circ$. В частности, угол $\angle COB = 90^\circ$.

Угол $\angle COB$ состоит из двух углов: $\angle COK$ и $\angle BOK$. Следовательно, мы можем записать: $\angle COB = \angle COK + \angle BOK$.

Подставим известные значения: $90^\circ = 42^\circ + \angle BOK$.

Отсюда найдем величину угла $\angle BOK$: $\angle BOK = 90^\circ - 42^\circ = 48^\circ$.

Также по условию нам дана сумма углов $\angle MOC + \angle BOK = 130^\circ$. Теперь мы можем найти угол $\angle MOC$, подставив найденное значение $\angle BOK$: $\angle MOC + 48^\circ = 130^\circ$.

Вычисляем $\angle MOC$: $\angle MOC = 130^\circ - 48^\circ = 82^\circ$.

Чтобы найти искомый угол $\angle MOK$, сложим углы $\angle MOC$ и $\angle COK$: $\angle MOK = \angle MOC + \angle COK$.

Подставляем значения: $\angle MOK = 82^\circ + 42^\circ = 124^\circ$.

Ответ: $124^\circ$.

2) ∠MOD

Точки $C$, $O$ и $D$ лежат на одной прямой $CD$, следовательно, угол $\angle COD$ является развернутым и его величина составляет $180^\circ$.

Угол $\angle COD$ состоит из двух смежных углов: $\angle MOC$ и $\angle MOD$. Таким образом: $\angle MOC + \angle MOD = 180^\circ$.

Из предыдущего пункта мы знаем, что $\angle MOC = 82^\circ$. Подставим это значение в уравнение: $82^\circ + \angle MOD = 180^\circ$.

Найдем величину угла $\angle MOD$: $\angle MOD = 180^\circ - 82^\circ = 98^\circ$.

Ответ: $98^\circ$.

2) угол, противолежащий стороне $MK$;

3) стороны, прилежащие к углу $K$;

4) углы, прилежащие к стороне $KE$.

138. Назовите стороны, вершины, углы треугольника $CEF$ (рис. 122). Укажите:

1) угол, противолежащий стороне $CF$;

2) углы, прилежащие к стороне $CE$;

3) сторону, противолежащую углу $E$;

4) стороны, прилежащие к углу $F$.

Рис. 122

139. На рисунке 116 $AC \perp DK$, $OB \perp BF$, $\angle DBO = 54^\circ$. Найдите угол $ABF$.

Рис. 116

По условию задачи дано, что прямые $AC$ и $DK$ перпендикулярны ($AC \perp DK$). Это означает, что углы, образованные их пересечением, равны $90^\circ$. В частности, $\angle ABD = 90^\circ$.

Угол $\angle ABD$ состоит из двух углов, $\angle ABO$ и $\angle DBO$, которые имеют общую сторону $BO$. Таким образом, можно записать равенство: $\angle ABD = \angle ABO + \angle DBO$.

Из условия нам известно, что $\angle DBO = 54^\circ$. Подставив известные значения в равенство, получим:

$90^\circ = \angle ABO + 54^\circ$

Отсюда мы можем найти величину угла $\angle ABO$:

$\angle ABO = 90^\circ - 54^\circ = 36^\circ$

Также по условию дано, что лучи $OB$ и $BF$ перпендикулярны ($OB \perp BF$). Это означает, что угол между ними равен $90^\circ$, то есть $\angle OBF = 90^\circ$.

Искомый угол $\angle ABF$ является суммой углов $\angle ABO$ и $\angle OBF$, так как луч $OB$ разделяет угол $\angle ABF$ на два этих угла. Это можно записать в виде формулы:

$\angle ABF = \angle ABO + \angle OBF$

Теперь подставим найденные значения углов в эту формулу:

$\angle ABF = 36^\circ + 90^\circ = 126^\circ$

Ответ: $126^\circ$.

139. Одна из сторон треугольника в 5 раз меньше второй и на 25 см меньше третьей. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 74 см.

140. Угол $ABC$ равен $160^\circ$, лучи $BK$ и $BM$ проходят между сторонами этого угла и перпендикулярны им. Найдите угол $MBK$.

По условию задачи, дан угол $\angle ABC = 160^{\circ}$. Лучи BK и BM проходят между его сторонами BA и BC, то есть находятся внутри этого угла. Также известно, что лучи BK и BM перпендикулярны сторонам угла. Это означает, что один из лучей перпендикулярен стороне BA, а другой — стороне BC. Неважно, какой именно луч какой стороне перпендикулярен, результат будет одинаковым. Для определенности, пусть луч BK перпендикулярен стороне BA, а луч BM — стороне BC.

Из условия перпендикулярности имеем:
$BK \perp BA \implies \angle ABK = 90^{\circ}$
$BM \perp BC \implies \angle CBM = 90^{\circ}$

Поскольку лучи BK и BM находятся внутри угла $\angle ABC$, мы можем использовать аксиому о сложении углов.

Весь угол $\angle ABC$ состоит из угла $\angle ABM$ и угла $\angle CBM$.
$\angle ABC = \angle ABM + \angle CBM$. Но это неверно.Правильное разложение:$\angle ABC = \angle ABM + \angle MBC$.Из этого равенства, зная $\angle ABC$ и $\angle MBC$ (он же $\angle CBM$), найдем $\angle ABM$:
$\angle ABM = \angle ABC - \angle CBM = 160^{\circ} - 90^{\circ} = 70^{\circ}$.

Теперь рассмотрим угол $\angle ABK$. Он состоит из двух смежных углов: $\angle ABM$ и искомого угла $\angle MBK$.
$\angle ABK = \angle ABM + \angle MBK$.

Мы знаем величины углов $\angle ABK$ и $\angle ABM$, поэтому можем найти $\angle MBK$:
$90^{\circ} = 70^{\circ} + \angle MBK$
$\angle MBK = 90^{\circ} - 70^{\circ} = 20^{\circ}$.

Этот же результат можно получить, если рассмотреть угол $\angle CBM$.Сначала найдем $\angle KBC$:
$\angle KBC = \angle ABC - \angle ABK = 160^{\circ} - 90^{\circ} = 70^{\circ}$.
Теперь разложим угол $\angle CBM$:
$\angle CBM = \angle MBK + \angle KBC$
$90^{\circ} = \angle MBK + 70^{\circ}$
$\angle MBK = 90^{\circ} - 70^{\circ} = 20^{\circ}$.

Ответ: $20^{\circ}$

140. Стороны треугольника относятся как 5 : 7 : 11, а сумма наибольшей и наименьшей сторон равна 80 см. Вычислите периметр треугольника.

141. На рисунке 117 $BF \perp AC$, $BD \perp BK$. Докажите, что $\angle ABD = \angle FBK$.

Рис. 117

Для доказательства равенства углов $\angle ABD$ и $\angle FBK$ воспользуемся данными из условия задачи.

1. По условию, луч $BF$ перпендикулярен прямой $AC$ ($BF \perp AC$). Это означает, что угол $\angle ABF$ является прямым, и его градусная мера составляет $90^\circ$.

$\angle ABF = 90^\circ$

Из рисунка видно, что угол $\angle ABF$ состоит из двух углов: $\angle ABD$ и $\angle DBF$. Таким образом, мы можем записать:

$\angle ABF = \angle ABD + \angle DBF$

Подставив известное значение $\angle ABF$, получим:

$90^\circ = \angle ABD + \angle DBF$

Выразим из этого равенства угол $\angle ABD$:

$\angle ABD = 90^\circ - \angle DBF$ (1)

2. Также по условию, луч $BD$ перпендикулярен лучу $BK$ ($BD \perp BK$). Это означает, что угол $\angle DBK$ также является прямым, и его градусная мера равна $90^\circ$.

$\angle DBK = 90^\circ$

Из рисунка видно, что угол $\angle DBK$ состоит из двух углов: $\angle DBF$ и $\angle FBK$. Запишем это в виде равенства:

$\angle DBK = \angle DBF + \angle FBK$

Подставив известное значение $\angle DBK$, получим:

$90^\circ = \angle DBF + \angle FBK$

Выразим из этого равенства угол $\angle FBK$:

$\angle FBK = 90^\circ - \angle DBF$ (2)

3. Теперь сравним выражения (1) и (2). Правые части обоих равенств одинаковы ($90^\circ - \angle DBF$). Следовательно, левые части этих равенств также должны быть равны.

$\angle ABD = \angle FBK$

Таким образом, мы доказали, что $\angle ABD = \angle FBK$, так как оба этих угла дополняют один и тот же угол $\angle DBF$ до прямого угла.

Ответ: Равенство $\angle ABD = \angle FBK$ доказано.

141. Периметр треугольника равен 48 см, а его стороны относятся как $7 : 9 : 8$. Найдите стороны треугольника.

142. На рисунке 117 $\angle ABD = \angle FBK$, $\angle DBF = \angle KBC$. Докажите, что $BF \perp AC$.

Из условия задачи следует, что точки A, B и C лежат на одной прямой. Следовательно, угол $ \angle ABC $ является развернутым, и его градусная мера составляет $180^\circ$.

По условию даны следующие равенства углов: $ \angle ABD = \angle FBK $ и $ \angle DBF = \angle KBC $.

Сложим левые и правые части этих равенств между собой:$ \angle ABD + \angle DBF = \angle FBK + \angle KBC $.

Сумма углов в левой части равенства, $ \angle ABD + \angle DBF $, составляет угол $ \angle ABF $. Сумма углов в правой части, $ \angle FBK + \angle KBC $, составляет угол $ \angle FBC $. Это следует из взаимного расположения лучей, которое предполагается на рисунке 117. Таким образом, мы получаем новое равенство: $ \angle ABF = \angle FBC $.

Углы $ \angle ABF $ и $ \angle FBC $ являются смежными, так как сторона BF у них общая, а стороны BA и BC являются дополнительными лучами, образуя прямую AC. Сумма смежных углов равна $180^\circ$, поэтому $ \angle ABF + \angle FBC = 180^\circ $.

Поскольку мы установили, что $ \angle ABF = \angle FBC $, можно выполнить подстановку в последнем равенстве:$ \angle FBC + \angle FBC = 180^\circ $, что эквивалентно $ 2 \cdot \angle FBC = 180^\circ $.

Отсюда находим величину угла $ \angle FBC $:$ \angle FBC = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ $.

По определению, если угол между двумя прямыми равен $90^\circ$, то эти прямые перпендикулярны. Следовательно, $ BF \perp AC $, что и требовалось доказать.

Ответ: утверждение доказано.

142. Треугольники $APK$ и $MCE$ равны, углы $A$ и $C$ соответственные, $PK = 10$ см. Найдите сторону $ME$.