Страница 34 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

97. Укажите пары смежных углов (рис. 92).

Рис. 92

а

A B C D

б

M P K E O

в

N F M C E

г

A B C D E F

а) Смежными называются два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными лучами (лежат на одной прямой и образуют развернутый угол в $180^\circ$).
На рисунке 'а' углы $\angle ABD$ и $\angle CBD$ имеют общую вершину B, общую сторону BD, а их стороны BA и BC являются дополнительными лучами, так как лежат на прямой AC. Следовательно, $\angle ABD$ и $\angle CBD$ — это пара смежных углов.
Ответ: $\angle ABD$ и $\angle CBD$.

б) На данном рисунке прямая MO проходит через точку K. Лучи KM и KO являются противоположными. Из точки K проведены лучи KP и KE. Это образует две пары смежных углов:
1. Углы $\angle MKP$ и $\angle OKP$. У них общая вершина K, общая сторона KP, а стороны KM и KO лежат на прямой MO.
2. Углы $\angle MKE$ и $\angle OKE$. У них общая вершина K, общая сторона KE, а стороны KM и KO лежат на прямой MO.
Ответ: $\angle MKP$ и $\angle OKP$; $\angle MKE$ и $\angle OKE$.

в) На этом рисунке лучи CM и CE образуют прямую ME, которая проходит через точку C. Следовательно, лучи CM и CE являются противоположными. Из точки C также выходят лучи CF и CN. Образуются две пары смежных углов:
1. Углы $\angle MCF$ и $\angle ECF$. У них общая вершина C, общая сторона CF, а стороны CM и CE лежат на прямой ME.
2. Углы $\angle MCN$ и $\angle ECN$. У них общая вершина C, общая сторона CN, а стороны CM и CE лежат на прямой ME.
Ответ: $\angle MCF$ и $\angle ECF$; $\angle MCN$ и $\angle ECN$.

г) На рисунке 'г' на прямой AE расположены точки B и D, из которых проведены лучи BC и DF соответственно. Это создает две независимые пары смежных углов в разных вершинах:
1. В точке B: углы $\angle ABC$ и $\angle CBE$. У них общая вершина B, общая сторона BC, а их другие стороны BA и BE лежат на прямой AE.
2. В точке D: углы $\angle ADF$ и $\angle EDF$. У них общая вершина D, общая сторона DF, а их другие стороны DA и DE лежат на прямой AE.
Ответ: $\angle ABC$ и $\angle CBE$; $\angle ADF$ и $\angle EDF$.

97. Найдите смежные углы, если:

1) один из них на $70^\circ$ больше второго;

2) один из них в 8 раз меньше второго;

3) их градусные меры относятся как $3:2$.

98. Являются ли углы ABC и DBE вертикальными (рис. 93)?

Рис. 93

а

б

в

Так как углы AOC и COB смежные, то лучи OA и OB являются допмеричный. Следовательно, $\angle AOB = 180^{\circ}$

По основному свойству величины углы

а. Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых. Стороны одного угла при этом являются продолжением сторон другого. На рисунке 'а' мы видим две пересекающиеся прямые $AE$ и $CD$. Углы $ \angle ABC $ и $ \angle DBE $ имеют общую вершину $B$. Стороны угла $ \angle ABC $, лучи $BA$ и $BC$, являются продолжениями сторон угла $ \angle DBE $, лучей $BE$ и $BD$ соответственно (так как $A, B, E$ лежат на одной прямой, и $C, B, D$ лежат на одной прямой). Следовательно, эти углы являются вертикальными.
Ответ: да, являются.

б. Для того чтобы углы $ \angle ABC $ и $ \angle DBE $ были вертикальными, стороны одного угла должны быть продолжением сторон другого. На рисунке 'б' луч $BA$ является продолжением луча $BE$ (они образуют прямую $AE$). Однако луч $BC$ не является продолжением луча $BD$ (точки $C, B, D$ не лежат на одной прямой). Поскольку одно из условий не выполняется, данные углы не являются вертикальными.
Ответ: нет, не являются.

в. На рисунке 'в' углы $ \angle ABC $ и $ \angle DBE $ имеют общую вершину $B$, но их стороны не являются продолжениями друг друга. Луч $BA$ не является продолжением луча $BE$ (точки $A, B, E$ не лежат на одной прямой). Аналогично, луч $BC$ не является продолжением луча $BD$ (точки $C, B, D$ также не лежат на одной прямой). Таким образом, углы $ \angle ABC $ и $ \angle DBE $ не являются вертикальными.
Ответ: нет, не являются.

98. Найдите смежные углы, если:

1) один из них в 17 раз больше второго;

2) их градусные меры относятся как $19 : 26$.

99. Сколько пар смежных углов изображено на рисунке 94? Назовите их. Укажите пары вертикальных углов.

Рис. 94

угла являются допо

На рисунке O и CO

тикальны

Очевидно, что при пере

эти от

двух прямых образуются

Сколько пар смежных углов изображено на рисунке 94? Назовите их.

Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой (образуют прямую линию). Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

На рисунке 94 изображены две пересекающиеся прямые AB и CD. Они образуют четыре угла с общей вершиной O: $ \angle AOC $, $ \angle COB $, $ \angle BOD $ и $ \angle DOA $.

Найдем все пары смежных углов:

1. Углы $ \angle AOC $ и $ \angle COB $ имеют общую сторону OC, а стороны OA и OB лежат на прямой AB. Следовательно, это пара смежных углов.
2. Углы $ \angle COB $ и $ \angle BOD $ имеют общую сторону OB, а стороны OC и OD лежат на прямой CD. Следовательно, это пара смежных углов.
3. Углы $ \angle BOD $ и $ \angle DOA $ имеют общую сторону OD, а стороны OB и OA лежат на прямой AB. Следовательно, это пара смежных углов.
4. Углы $ \angle DOA $ и $ \angle AOC $ имеют общую сторону OA, а стороны OD и OC лежат на прямой CD. Следовательно, это пара смежных углов.

Всего на рисунке 4 пары смежных углов.
Ответ: На рисунке изображено 4 пары смежных углов: ($ \angle AOC $, $ \angle COB $), ($ \angle COB $, $ \angle BOD $), ($ \angle BOD $, $ \angle DOA $), ($ \angle DOA $, $ \angle AOC $).

Укажите пары вертикальных углов.

Вертикальные углы — это два угла, которые образуются при пересечении двух прямых, и стороны одного угла являются продолжением сторон другого. Вертикальные углы равны.

Найдем все пары вертикальных углов:

1. Угол $ \angle AOC $ и угол $ \angle BOD $. Стороны угла $ \angle AOC $ (лучи OA и OC) являются продолжениями сторон угла $ \angle BOD $ (лучей OB и OD соответственно).
2. Угол $ \angle AOD $ и угол $ \angle COB $. Стороны угла $ \angle AOD $ (лучи OA и OD) являются продолжениями сторон угла $ \angle COB $ (лучей OB и OC соответственно).

Всего на рисунке 2 пары вертикальных углов.
Ответ: Пары вертикальных углов: ($ \angle AOC $, $ \angle BOD $) и ($ \angle AOD $, $ \angle COB $).

99. Верно ли утверждение:

1) для каждого угла, отличного от развёрнутого, можно построить только один вертикальный угол;

2) для каждого угла, отличного от развёрнутого, можно построить только один смежный угол;

3) если углы равны, то они вертикальные;

4) если углы не равны, то они не вертикальные;

5) если углы не вертикальные, то они не равны;

6) если два угла смежные, то один из них острый, а второй — тупой;

7) если два угла смежные, то один из них больше другого;

8) если сумма двух углов равна $180^\circ$, то они смежные;

9) если сумма двух углов не равна $180^\circ$, то они не смежные;

10) если два угла равны, то смежные с ними углы также равны;

11) если смежные углы равны, то они прямые;

12) если равные углы имеют общую вершину, то они вертикальные;

13) если два угла имеют общую сторону, то они смежные?

100. Могут ли два смежных угла быть равными:

1) $24^\circ$ и $156^\circ$;

2) $63^\circ$ и $107^\circ$?

Ответ обоснуйте.

По определению, смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой. Основное свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна $180^{\circ}$. Чтобы определить, могут ли данные пары углов быть смежными, нужно проверить, равна ли их сумма $180^{\circ}$.

1) 24° и 156°
Найдем сумму данных углов:
$24^{\circ} + 156^{\circ} = 180^{\circ}$
Поскольку сумма углов равна $180^{\circ}$, они могут быть смежными.
Ответ: да, могут.

2) 63° и 107°
Найдем сумму данных углов:
$63^{\circ} + 107^{\circ} = 170^{\circ}$
Поскольку сумма углов не равна $180^{\circ}$ ($170^{\circ} \ne 180^{\circ}$), они не могут быть смежными.
Ответ: нет, не могут.

100. Сумма двух углов, образованных при пересечении двух прямых, равна $140^\circ$. Докажите, что эти углы – вертикальные.