Страница 27 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какие два луча называют дополнительными?

Два луча называются дополнительными, если они имеют общее начало и лежат на одной прямой, то есть дополняют друг друга до прямой.

Для того чтобы два луча были дополнительными, должны выполняться два условия:
1. У них есть общее начало (одна и та же точка, из которой они исходят).
2. Они лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны.

Если на прямой отметить точку $O$, то она разделит эту прямую на два луча, выходящих из точки $O$. Эти два луча и будут являться дополнительными друг другу. Например, если на прямой $a$ лежит точка $O$ между точками $A$ и $B$, то лучи $OA$ и $OB$ будут дополнительными. Угол, образованный дополнительными лучами, является развернутым и его градусная мера равна $180^\circ$.

Ответ: Дополнительными называют два луча, которые имеют общее начало и вместе образуют прямую.

1. Как называют фигуру, образованную точкой, принадлежащей прямой, и одной из частей, на которые эта точка делит прямую? Как при этом называют данную точку?

2. Какой угол называют развёрнутым?

2. Развёрнутым углом называют угол, стороны которого являются дополнительными лучами. Это означает, что его стороны лежат на одной прямой, но направлены в противоположные стороны от общей вершины. Таким образом, стороны развёрнутого угла вместе образуют прямую линию.
Градусная мера развёрнутого угла по определению равна $180^\circ$. Это ровно половина полного угла ($360^\circ$) или сумма двух прямых углов ($90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$). В радианной мере величина развёрнутого угла составляет $\pi$ радиан.

Ответ: Развёрнутый угол — это угол, стороны которого образуют прямую линию, а его градусная мера равна $180^\circ$.

2. Как обозначают луч?

3. Какие два угла называют равными?

В геометрии два угла называют равными, если их можно совместить друг с другом путем наложения. Это означает, что один угол можно так переместить в пространстве (не изменяя его формы и размера), чтобы его вершина совпала с вершиной второго угла, а стороны одного угла полностью легли на стороны другого.

Более практичное определение связано с измерением углов: два угла равны, если равны их величины, выраженные в градусах или радианах. Например, если $\angle A = 30^{\circ}$ и $\angle B = 30^{\circ}$, то говорят, что угол $A$ равен углу $B$, и записывают это как $\angle A = \angle B$.

Ответ: Два угла называют равными, если они имеют одинаковую градусную (или радианную) меру.

3. Какие два луча называют дополнительными?

4. Сформулируйте основное свойство откладывания углов.

4. Основное свойство откладывания углов, также известное как аксиома откладывания углов, формулируется следующим образом: от любого луча в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей $180°$, и притом только один.

Это свойство включает в себя два фундаментальных утверждения:

1. Существование: Для любого луча $h$ с началом в точке $O$, для любой заданной полуплоскости (относительно прямой, содержащей луч $h$) и для любого положительного числа $\alpha < 180$ существует луч $k$, выходящий из точки $O$ и лежащий в этой полуплоскости, такой, что угол между лучами $h$ и $k$ равен $\alpha$ градусам.

2. Единственность: В указанной полуплоскости такой луч $k$ только один.

Данное свойство является одной из основных аксиом планиметрии. Оно гарантирует, что операция откладывания (построения) угла является определённой и однозначной, что критически важно для дальнейших геометрических построений и доказательств.

Ответ: От любого луча в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей $180°$, и только один.

4. Как называют фигуру, образованную двумя лучами с общим началом и одной из частей, на которые эти лучи делят плоскость? Как при этом называют данные лучи? Их общее начало?

5. Что называют биссектрисой угла?

5. Как обозначают угол?

6. В каких единицах измеряют углы?

Углы измеряют в различных единицах, выбор которых зависит от области применения. Наиболее распространенными являются градусы, радианы, грады и обороты.

Градусы

Градусная мера — самая известная и широко используемая система измерения углов в повседневной жизни, школьной геометрии и многих прикладных науках. В этой системе полный оборот (полная окружность) делится на 360 равных частей. Каждая такая часть называется градусом и обозначается символом $^\circ$.

Для более точных измерений используются дольные единицы градуса — минуты и секунды:

• 1 градус ($1^\circ$) равен 60 минутам ($60'$).
• 1 минута ($1'$) равна 60 секундам ($60''$).

Таким образом, $1^\circ = 60' = 3600''$. Эта система, основанная на числе 60, называется шестидесятеричной.

Примеры:

• Прямой угол равен $90^\circ$.
• Развернутый угол равен $180^\circ$.
• Полный угол равен $360^\circ$.

Ответ: градусы ($^\circ$), минуты ($'$) и секунды ($''$).

Радианы

Радианная мера является основной в высшей математике (в частности, в тригонометрии и математическом анализе), физике и является единицей измерения углов в Международной системе единиц (СИ). Радиан — это центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности. Величина угла в радианах определяется как отношение длины дуги окружности $l$, заключенной между сторонами угла, к радиусу этой окружности $R$.

Формула: $\alpha_{рад} = \frac{l}{R}$

Радиан — безразмерная величина, но для ясности часто используется обозначение "рад" (rad).

Длина полной окружности равна $2\pi R$, поэтому полный угол содержит $2\pi$ радиан. Отсюда следует связь между градусной и радианной мерой:

$360^\circ = 2\pi$ рад, или $180^\circ = \pi$ рад.

Для перевода из градусов в радианы используется формула: $\alpha_{рад} = \alpha_{град} \cdot \frac{\pi}{180^\circ}$.

Для перевода из радиан в градусы: $\alpha_{град} = \alpha_{рад} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}$.

Например, $90^\circ = \frac{\pi}{2}$ рад, а $1$ рад $\approx 57.3^\circ$.

Ответ: радианы (рад).

Грады (гоны)

Градовая мера (или гоны) используется реже, в основном в геодезии и некоторых областях строительства в Европе. В этой системе прямой угол делится на 100 частей, называемых градами (или гонами). Полный оборот, соответственно, составляет 400 градов.

Обозначается как $^g$, grad или gon.

Соотношения:

• Прямой угол = $100^g$.
• Полный угол = $400^g$.
• $360^\circ = 400^g$.

Эта система удобна тем, что основана на десятичной системе, что упрощает вычисления.

Ответ: грады (гоны).

Обороты

Оборот (или полный угол, цикл, революция) — это единица измерения, равная одному полному вращению вокруг центра. Один оборот эквивалентен $360^\circ$ или $2\pi$ радианам.

Эта единица часто используется для описания вращательного движения, например, в механике (число оборотов в минуту, об/мин) или в компьютерной графике для задания вращения объектов.

Примеры:

• Четверть оборота = $90^\circ = \frac{\pi}{2}$ рад.
• Полоборота = $180^\circ = \pi$ рад.

Ответ: обороты (полные углы, циклы).

6. Какой угол называют развёрнутым?

7. Какова градусная мера развёрнутого угла?

7. Развёрнутый угол — это угол, стороны которого лежат на одной прямой и исходят из одной точки (вершины) в противоположных направлениях. Визуально такой угол выглядит как прямая линия.

Для определения его градусной меры можно использовать несколько подходов:
1. По отношению к полному углу. Полный угол, или один полный оборот, составляет $360^\circ$. Развёрнутый угол — это ровно половина полного угла. Следовательно, его мера равна:
$360^\circ \div 2 = 180^\circ$

2. Через прямые углы. Прямой угол имеет меру $90^\circ$. Развёрнутый угол можно составить из двух прямых углов, примыкающих друг к другу. Таким образом, его мера равна сумме мер двух прямых углов:
$90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.
Ответ: $180^\circ$.

7. Как называют части, на которые прямая делит плоскость?

8. Как называют угол, градусная мера которого равна $90^\circ$?

8. В геометрии углы классифицируются в зависимости от их величины, измеряемой в градусах. Угол, градусная мера которого составляет ровно $90^\circ$, называется прямым углом. Такой угол визуально представляет собой угол в углу квадрата или прямоугольника. Прямые углы являются фундаментальным понятием в евклидовой геометрии, поскольку они определяют перпендикулярность линий, сторон и плоскостей.

Для сравнения, углы также бывают:

• Острые — углы, градусная мера которых меньше $90^\circ$.
• Тупые — углы, градусная мера которых больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$.
• Развернутые — углы, градусная мера которых равна $180^\circ$.

Таким образом, угол в $90^\circ$ однозначно идентифицируется как прямой.

Ответ: Прямой угол.

8. Какие два угла называют равными?

Как называют угол, градусная мера которого равна $30^\circ$?

9. Какой угол называют острым? тупым?

острым?

Острым углом называют угол, градусная мера которого больше $0^\circ$, но меньше $90^\circ$. Другими словами, это угол, который меньше прямого угла ($90^\circ$). Если обозначить величину острого угла греческой буквой альфа ($\alpha$), то его определение можно записать в виде математического неравенства: $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.
Примерами острых углов являются углы в $30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$. Все углы в равностороннем треугольнике являются острыми.
Ответ: Острым называют угол, который больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$.

тупым?

Тупым углом называют угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$. Это означает, что тупой угол больше прямого угла ($90^\circ$), но меньше развернутого угла ($180^\circ$). Если обозначить величину тупого угла греческой буквой бета ($\beta$), то его определение можно записать в виде неравенства: $90^\circ < \beta < 180^\circ$.
Примерами тупых углов являются углы в $100^\circ, 135^\circ, 175^\circ$. В треугольнике может быть только один тупой угол.
Ответ: Тупым называют угол, который больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$.

9. Что называют биссектрисой угла?

10. Какие величины равных углов?

Для того чтобы ответить на вопрос о конкретных величинах (градусных мерах) равных углов, необходимо иметь дополнительную информацию, например, геометрический чертеж или полные условия задачи. Вопрос в его текущем виде слишком общий. Однако можно дать развернутое объяснение того, что такое равные углы и в каких случаях они возникают.

Равными углами называются углы, которые имеют одинаковую меру, выраженную в градусах или радианах. Если говорят, что угол $ \angle A $ равен углу $ \angle B $, это означает, что их величины совпадают.

Величины равных углов могут быть любыми в зависимости от геометрической конфигурации. Рассмотрим несколько стандартных случаев из геометрии, где появляются равные углы:

1. Вертикальные углы
При пересечении двух прямых образуются две пары равных между собой вертикальных углов. Если величина одного из углов равна $ \alpha $, то и противолежащий ему (вертикальный) угол также имеет величину $ \alpha $. Например, если один из углов равен $ 40^\circ $, то и вертикальный ему угол равен $ 40^\circ $.

2. Углы при параллельных прямых и секущей
Когда две параллельные прямые пересекаются третьей (секущей), образуется несколько пар равных углов:

• Накрест лежащие углы равны.
• Соответственные углы равны.

Например, если один из острых углов равен $ 65^\circ $, то все остальные острые углы (один накрест лежащий и два соответственных) также будут равны $ 65^\circ $.

3. Углы в равнобедренном треугольнике
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Их величина зависит от угла при вершине. Если угол при вершине равен $ 50^\circ $, то сумма углов при основании будет $ 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ $. Так как эти углы равны, то каждый из них будет по $ 130^\circ / 2 = 65^\circ $.

4. Углы в равностороннем треугольнике
В равностороннем треугольнике все три угла равны. Поскольку сумма углов в треугольнике равна $ 180^\circ $, то каждый угол в равностороннем треугольнике имеет величину $ 180^\circ / 3 = 60^\circ $. Здесь величины равных углов — $ 60^\circ $.

5. Углы в правильном многоугольнике
В любом правильном n-угольнике все внутренние углы равны. Их величина рассчитывается по формуле $ \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} $. Например, в правильном пятиугольнике ($ n=5 $) все пять углов равны и их величина составляет $ \frac{(5-2) \cdot 180^\circ}{5} = \frac{3 \cdot 180^\circ}{5} = 108^\circ $.

Таким образом, для нахождения конкретных величин равных углов всегда требуется контекст задачи.

Ответ: Вопрос не содержит достаточной информации для предоставления конкретного численного ответа. Равные углы — это углы с одинаковой градусной мерой, и эта мера определяется условиями конкретной геометрической задачи.

10. В каких единицах измеряют углы?

11. Сформулируйте основное свойство величины угла.

Основное свойство величины угла, также известное как аксиома сложения углов, заключается в следующем: если луч, исходящий из вершины угла, проходит между его сторонами, то он делит данный угол на два угла, сумма величин которых равна величине исходного угла.

Например, если луч $OB$ проходит между сторонами угла $\angle AOC$, то угол $\angle AOC$ разделяется на два угла: $\angle AOB$ и $\angle BOC$.

Согласно этому свойству, величина (градусная мера) угла $\angle AOC$ равна сумме величин углов $\angle AOB$ и $\angle BOC$.

Это можно записать в виде формулы:

$\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC$

Ответ: Если луч проходит между сторонами угла, то градусная мера этого угла равна сумме градусных мер углов, на которые он делится этим лучом.

11. Какова градусная мера развёрнутого угла?

56. Проведите два луча $AB$ и $AC$ так, чтобы они не были дополнительными. Постройте для каждого из этих лучей дополнительный луч. Обозначьте и запишите все образовавшиеся лучи.

Для решения этой задачи необходимо выполнить последовательные шаги построения и дать им пояснения.

Построение исходных лучей

Сначала определимся с терминами. Луч — это часть прямой, имеющая начало в некоторой точке и не имеющая конца. Два луча называются дополнительными, если они имеют общее начало и вместе образуют прямую.По условию задачи, нам нужно провести два луча, AB и AC, с общим началом в точке A так, чтобы они не были дополнительными. Это означает, что эти лучи не должны лежать на одной прямой. Геометрически это значит, что точки A, B и C не лежат на одной прямой, а лучи AB и AC образуют угол $ \angle BAC $, который не равен $180^\circ$ и не равен $0^\circ$.

Построение дополнительных лучей

Далее, для каждого из исходных лучей (AB и AC) необходимо построить дополнительный луч.

1. Для луча AB: Дополнительный луч к лучу AB должен выходить из той же точки A и лежать на той же прямой, что и AB, но быть направленным в противоположную сторону. Для этого проведем прямую через точки A и B. На этой прямой, по другую сторону от точки A, выберем произвольную точку D. Полученный луч AD является дополнительным к лучу AB. Точки D, A и B лежат на одной прямой.
2. Для луча AC: Аналогично, для построения дополнительного луча к лучу AC, проведем прямую через точки A и C. На этой прямой, по другую сторону от точки A, выберем произвольную точку E. Полученный луч AE является дополнительным к лучу AC. Точки E, A и C лежат на одной прямой.

Иллюстрация и перечень образовавшихся лучей

В результате построений мы получили две прямые, DB и EC, которые пересекаются в точке A. На чертеже это выглядит следующим образом:

Мы обозначили и построили все требуемые лучи. Теперь запишем их:

• Луч AB (исходный).
• Луч AC (исходный).
• Луч AD (дополнительный к лучу AB).
• Луч AE (дополнительный к лучу AC).

Ответ: Образовались четыре луча: AB, AC, AD, AE.

56. Можно ли угол, изображённый на рисунке 65, обозначить так:

1) $\angle ABC;$

2) $\angle ACD;$

3) $\angle ADC;$

4) $\angle DCA;$

5) $\angle ACE;$

6) $\angle BCD;$

7) $\angle BDE;$

8) $\angle ECD?$

Рис. 63

Рис. 64

Рис. 65

57. Проведите отрезок $AB$ и два луча $AB$ и $BA$. Являются ли эти лучи дополнительными? Ответ обоснуйте.

Для решения этой задачи необходимо вспомнить определение дополнительных лучей. Два луча называются дополнительными, если они удовлетворяют двум условиям:
1. Они имеют общее начало.
2. Они лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны, вместе образуя эту прямую.

Проведем отрезок $AB$. Это часть прямой, ограниченная точками $A$ и $B$.

Теперь проведем луч $AB$. По определению, это часть прямой, которая начинается в точке $A$ (его начало) и проходит через точку $B$, продолжаясь бесконечно в этом направлении.

Далее проведем луч $BA$. Это часть прямой, которая начинается в точке $B$ (его начало) и проходит через точку $A$, продолжаясь бесконечно в этом направлении.

Сравним полученные лучи $AB$ и $BA$ с определением дополнительных лучей.
У луча $AB$ начало находится в точке $A$.
У луча $BA$ начало находится в точке $B$.

Поскольку точки $A$ и $B$ — это концы отрезка, они не совпадают ($A \neq B$). Это означает, что у лучей $AB$ и $BA$ разные начала. Таким образом, первое и ключевое условие для дополнительных лучей не выполняется.

Ответ: Нет, лучи $AB$ и $BA$ не являются дополнительными, потому что у них разные начала (у луча $AB$ начало в точке $A$, а у луча $BA$ — в точке $B$). Для того чтобы лучи были дополнительными, они должны иметь общее начало.

57. Запишите все углы, изображённые на рисунке 66.

Рис. 66

$\angle BAC$

$\angle BAD$

$\angle BAE$

$\angle CAD$

$\angle CAE$

$\angle DAE$