Страница 20 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

38. Точка $K$ – середина отрезка $MN$, точка $E$ – середина отрезка $KN$, $EN = 5$ см. Найдите отрезки $MK$, $ME$ и $MN$.

Для решения задачи последовательно найдем длины всех необходимых отрезков, исходя из предоставленных данных.

1. Нам дано, что точка $E$ является серединой отрезка $KN$. Это означает, что отрезки $KE$ и $EN$ равны. Поскольку $EN = 5$ см, то и $KE = 5$ см.

2. Длина всего отрезка $KN$ складывается из длин его частей: $KN = KE + EN$. Подставив известные значения, получаем: $KN = 5 \text{ см} + 5 \text{ см} = 10$ см.

3. Также нам известно, что точка $K$ является серединой отрезка $MN$. Это означает, что отрезки $MK$ и $KN$ равны. Так как мы уже нашли, что $KN = 10$ см, то и $MK = 10$ см.

Теперь мы можем найти длины всех искомых отрезков.

MK

Как мы установили в пункте 3, исходя из того, что $K$ — середина $MN$, длина отрезка $MK$ равна длине отрезка $KN$.

$MK = KN = 10$ см.

Ответ: $MK = 10$ см.

ME

Точки на прямой расположены в порядке M, K, E, N. Длина отрезка $ME$ равна сумме длин отрезков $MK$ и $KE$.

$ME = MK + KE$.

Мы знаем, что $MK = 10$ см (из предыдущего шага) и $KE = 5$ см (из пункта 1).

$ME = 10 \text{ см} + 5 \text{ см} = 15$ см.

Ответ: $ME = 15$ см.

MN

Длина всего отрезка $MN$ равна сумме длин его частей $MK$ и $KN$.

$MN = MK + KN$.

Мы знаем, что $MK = 10$ см и $KN = 10$ см.

$MN = 10 \text{ см} + 10 \text{ см} = 20$ см.

Ответ: $MN = 20$ см.

38. Точка $C$ делит отрезок $AB$, длина которого равна $a$, на два отрезка.

Найдите расстояние между серединами отрезков $AC$ и $BC$.

39. На клетчатой бумаге, длина стороны клетки которой равна $5 \text{ мм}$, отмечены точки $A$, $B$ и $C$ (рис. 45). Найдите расстояние от точки $C$ до середины отрезка $AB$.

Рис. 45

а

б

Для решения задачи введем систему координат, в которой начало отсчета совпадает с одной из вершин клеток, а оси параллельны линиям сетки. За единицу длины примем сторону одной клетки, которая по условию равна 5 мм. Расстояние между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ будем вычислять по формуле: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$. Координаты середины отрезка с концами в точках $(x_A, y_A)$ и $(x_B, y_B)$ находятся по формулам: $x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$, $y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$.

Примем точку А за начало координат. Тогда ее координаты будут $A(0, 0)$.

Судя по рисунку, точка B находится на 4 клетки правее точки A. Следовательно, ее координаты $B(4, 0)$.

Точка C находится на 1 клетку правее и на 3 клетки выше точки A. Следовательно, ее координаты $C(1, 3)$.

Найдем координаты M — середины отрезка AB:

$x_M = \frac{0 + 4}{2} = 2$

$y_M = \frac{0 + 0}{2} = 0$

Таким образом, точка M имеет координаты $M(2, 0)$.

Теперь найдем расстояние от точки C до точки M. Это будет длина отрезка CM:

$CM = \sqrt{(2 - 1)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$ (клеток).

Поскольку длина стороны одной клетки равна 5 мм, то искомое расстояние равно:

$5 \times \sqrt{10} = 5\sqrt{10}$ мм.

Ответ: $5\sqrt{10}$ мм.

Примем точку А за начало координат. Тогда ее координаты будут $A(0, 0)$.

Судя по рисунку, точка B находится на 2 клетки правее и на 3 клетки выше точки A. Следовательно, ее координаты $B(2, 3)$.

Точка C находится на 4 клетки правее и на 1 клетку выше точки A. Следовательно, ее координаты $C(4, 1)$.

Найдем координаты M — середины отрезка AB:

$x_M = \frac{0 + 2}{2} = 1$

$y_M = \frac{0 + 3}{2} = 1.5$

Таким образом, точка M имеет координаты $M(1, 1.5)$.

Теперь найдем расстояние от точки C до точки M. Это будет длина отрезка CM:

$CM = \sqrt{(1 - 4)^2 + (1.5 - 1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (0.5)^2} = \sqrt{9 + 0.25} = \sqrt{9.25}$ (клеток).

Упростим полученное значение: $\sqrt{9.25} = \sqrt{\frac{925}{100}} = \frac{\sqrt{25 \times 37}}{10} = \frac{5\sqrt{37}}{10} = \frac{\sqrt{37}}{2}$.

Поскольку длина стороны одной клетки равна 5 мм, то искомое расстояние равно:

$5 \times \frac{\sqrt{37}}{2} = \frac{5\sqrt{37}}{2}$ мм.

Ответ: $\frac{5\sqrt{37}}{2}$ мм.

39. Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой. Найдите длину отрезка $BC$, если $AB = 24$ см, $AC = 32$ см. Сколько решений имеет задача?

40. На клетчатой бумаге, длина стороны клетки которой равна 5 мм, отмечены точки $M, N$ и $K$ (рис. 46). Найдите расстояние от точки $M$ до середины отрезка $NK$.

Рис. 46

а

б

а

Для решения задачи введем декартову систему координат, где за единицу длины примем сторону одной клетки. Расположим начало координат в левом нижнем углу сетки на рисунке. Тогда оси будут направлены вправо (ось Ox) и вверх (ось Oy).

Определим координаты заданных точек в этой системе:

• Точка N находится на пересечении линий, соответствующих 1 единице по оси Ox и 3 единицам по оси Oy, следовательно, её координаты $N(1, 3)$.
• Точка K имеет координаты $K(1, 1)$.
• Точка M имеет координаты $M(3, 2)$.

Теперь найдем координаты середины отрезка NK. Обозначим эту точку как P. Координаты середины отрезка находятся как полусумма соответствующих координат его концов:

$x_P = \frac{x_N + x_K}{2} = \frac{1 + 1}{2} = 1$

$y_P = \frac{y_N + y_K}{2} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Таким образом, середина отрезка NK — это точка $P(1, 2)$.

Далее, найдем расстояние от точки $M(3, 2)$ до точки $P(1, 2)$ по формуле расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$:

$d(M, P) = \sqrt{(1 - 3)^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$.

Расстояние в выбранных нами единицах (сторонах клетки) равно 2. По условию задачи, длина стороны одной клетки составляет 5 мм. Следовательно, искомое расстояние равно:

$2 \times 5 \text{ мм} = 10 \text{ мм}$.

Ответ: 10 мм.

б

Поступим аналогично, введя систему координат с началом в левом нижнем углу и единичным отрезком, равным стороне клетки.

Определим координаты точек для второго случая:

• Точка N имеет координаты $N(2, 3)$.
• Точка K имеет координаты $K(2, 1)$.
• Точка M имеет координаты $M(1, 2)$.

Найдем координаты середины P отрезка NK:

$x_P = \frac{x_N + x_K}{2} = \frac{2 + 2}{2} = 2$

40. На прямой отмечены точки $A, B$ и $C$ так, что $AB = 15$ см, $AC = 9$ см.

Найдите расстояние между серединами отрезков $AB$ и $AC$.

41. Точка $C$ – внутренняя точка отрезка $AB$, длина которого равна 20 см. Найдите отрезки $AC$ и $BC$, если:

1) отрезок $AC$ на 5 см больше отрезка $BC$;

2) отрезок $AC$ в 4 раза меньше отрезка $BC$;

3) $AC : BC = 9 : 11$.

Поскольку точка C является внутренней точкой отрезка AB, то длина всего отрезка AB равна сумме длин его частей AC и BC. По условию, длина отрезка AB равна 20 см. Таким образом, для всех трех случаев выполняется равенство: $AC + BC = 20$.

1) отрезок AC на 5 см больше отрезка BC
Пусть длина отрезка BC равна $x$ см. Тогда, согласно условию, длина отрезка AC равна $(x + 5)$ см. Составим и решим уравнение:
$AC + BC = 20$
$(x + 5) + x = 20$
$2x + 5 = 20$
$2x = 20 - 5$
$2x = 15$
$x = 7.5$
Значит, длина отрезка $BC = 7.5$ см.
Длина отрезка AC будет равна: $AC = x + 5 = 7.5 + 5 = 12.5$ см.
Проверим: $12.5 + 7.5 = 20$ см.
Ответ: $AC = 12.5$ см, $BC = 7.5$ см.

2) отрезок AC в 4 раза меньше отрезка BC
Пусть длина отрезка AC равна $y$ см. Из условия следует, что отрезок BC в 4 раза длиннее, то есть его длина равна $4y$ см. Составим и решим уравнение:
$AC + BC = 20$
$y + 4y = 20$
$5y = 20$
$y = 20 / 5$
$y = 4$
Значит, длина отрезка $AC = 4$ см.
Длина отрезка BC будет равна: $BC = 4y = 4 \cdot 4 = 16$ см.
Проверим: $4 + 16 = 20$ см.
Ответ: $AC = 4$ см, $BC = 16$ см.

3) AC : BC = 9 : 11
Данное соотношение означает, что отрезок AB разделен на $9 + 11 = 20$ равных частей. При этом на отрезок AC приходится 9 таких частей, а на отрезок BC — 11 частей. Пусть $z$ — длина одной части. Тогда $AC = 9z$ и $BC = 11z$. Составим и решим уравнение:
$AC + BC = 20$
$9z + 11z = 20$
$20z = 20$
$z = 1$
Таким образом, длина одной части составляет 1 см. Найдем длины искомых отрезков:
$AC = 9z = 9 \cdot 1 = 9$ см.
$BC = 11z = 11 \cdot 1 = 11$ см.
Проверим: $9 + 11 = 20$ см.
Ответ: $AC = 9$ см, $BC = 11$ см.

41. Длина отрезка $EF$ равна 12 см. Найдите на прямой $EF$ все точки, для которых сумма расстояний от концов отрезка $EF$ до этих точек равна:

1) 12 см;

2) 15 см;

3) 10 см.

42. Точка K принадлежит отрезку $CD$, длина которого равна 28 см. Найдите отрезки $CK$ и $KD$, если:

1) отрезок $CK$ на 4 см меньше отрезка $KD$;

2) отрезок $CK$ в 6 раз больше отрезка $KD$;

3) $CK : KD = 3 : 4$.

Поскольку точка K принадлежит отрезку CD, то длина отрезка CD равна сумме длин отрезков CK и KD. То есть, $CK + KD = CD$. По условию задачи $CD = 28$ см.

1) По условию, отрезок CK на 4 см меньше отрезка KD. Пусть длина отрезка KD равна $x$ см. Тогда длина отрезка CK равна $(x - 4)$ см.
Составим и решим уравнение:
$CK + KD = 28$
$(x - 4) + x = 28$
$2x - 4 = 28$
$2x = 32$
$x = 16$
Следовательно, длина отрезка $KD = 16$ см.
Тогда длина отрезка $CK = 16 - 4 = 12$ см.
Проверим: $12 \text{ см} + 16 \text{ см} = 28 \text{ см}$.
Ответ: CK = 12 см, KD = 16 см.

2) По условию, отрезок CK в 6 раз больше отрезка KD. Пусть длина отрезка KD равна $y$ см. Тогда длина отрезка CK равна $6y$ см.
Составим и решим уравнение:
$CK + KD = 28$
$6y + y = 28$
$7y = 28$
$y = 4$
Следовательно, длина отрезка $KD = 4$ см.
Тогда длина отрезка $CK = 6 \cdot 4 = 24$ см.
Проверим: $24 \text{ см} + 4 \text{ см} = 28 \text{ см}$.
Ответ: CK = 24 см, KD = 4 см.

3) По условию, отношение длин отрезков $CK : KD = 3 : 4$. Это значит, что отрезок CD можно разделить на $3 + 4 = 7$ равных частей.
Пусть длина одной такой части равна $z$ см. Тогда $CK = 3z$ см, а $KD = 4z$ см.
Составим и решим уравнение:
$CK + KD = 28$
$3z + 4z = 28$
$7z = 28$
$z = 4$
Следовательно, длина одной части равна 4 см.
Найдем длины отрезков:
$CK = 3 \cdot 4 = 12$ см.
$KD = 4 \cdot 4 = 16$ см.
Проверим: $12 \text{ см} + 16 \text{ см} = 28 \text{ см}$.
Ответ: CK = 12 см, KD = 16 см.

42. Через точки $A$ и $B$ проведена прямая. Где на этой прямой лежит точка $C$, расстояние от которой до точки $B$ в 2 раза больше расстояния от неё до точки $A$?

43. Отрезки $AB$ и $CD$ равны (рис. 47). Докажите, что отрезки $AC$ и $BD$ также равны.

Рис. 47

Дано:

Отрезки $AB$ и $CD$ равны, то есть $AB = CD$.

Точки A, C, B, D лежат на одной прямой, как показано на рисунке.

Доказать:

$AC = BD$

Доказательство:

Рассмотрим отрезок $AB$. Из рисунка видно, что он состоит из двух частей: отрезка $AC$ и отрезка $CB$. Следовательно, его длину можно записать как сумму длин этих отрезков:

$AB = AC + CB$

Теперь рассмотрим отрезок $CD$. Он также состоит из двух частей: отрезка $CB$ и отрезка $BD$. Его длина равна сумме длин этих отрезков:

$CD = CB + BD$

По условию задачи мы знаем, что $AB = CD$.

Мы можем приравнять выражения для длин отрезков $AB$ и $CD$:

$AC + CB = CB + BD$

В этом равенстве отрезок $CB$ является общим слагаемым в левой и правой частях. Вычтем длину отрезка $CB$ из обеих частей равенства:

$AC + CB - CB = CB + BD - CB$

После вычитания получаем:

$AC = BD$

Таким образом, мы доказали, что отрезки $AC$ и $BD$ равны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство отрезков $AC$ и $BD$ доказано.

43. Отрезок, длина которого равна 32 см, разделили на три неравных отрезка. Расстояние между серединами крайних отрезков равно 18 см. Найдите длину среднего отрезка.

44. Отрезки $ME$ и $FN$ равны (рис. 48). Докажите, что $MF = EN$.

Рис. 48

Дано:

На прямой последовательно расположены точки M, E, F, N. Длины отрезков ME и FN равны, то есть $ME = FN$.

Доказать:

Что длина отрезка MF равна длине отрезка EN, то есть $MF = EN$.

Доказательство:

Рассмотрим отрезок MF. Исходя из расположения точек на прямой, его длина равна сумме длин составляющих его отрезков ME и EF. Это можно записать в виде формулы:

$MF = ME + EF$

Аналогично, рассмотрим отрезок EN. Его длина равна сумме длин составляющих его отрезков EF и FN:

$EN = EF + FN$

Согласно условию задачи, мы знаем, что длины отрезков ME и FN равны, то есть $ME = FN$.

Так как к равным величинам можно прибавлять одно и то же число, прибавим к обеим частям равенства $ME = FN$ длину общего отрезка EF:

$ME + EF = FN + EF$

Левая часть полученного равенства ($ME + EF$) представляет собой длину отрезка MF. Правая часть ($FN + EF$), согласно свойству коммутативности сложения, равна $EF + FN$, что представляет собой длину отрезка EN.

Следовательно, мы можем заменить суммы на соответствующие им отрезки:

$MF = EN$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $MF = EN$ доказано. Оба отрезка (MF и EN) можно представить как сумму двух отрезков. Один из этих отрезков (EF) является общим для обоих, а два других (ME и FN) равны по условию задачи.

44. Какое наименьшее количество внутренних точек надо отметить на отрезках, изображённых на рисунке 41, чтобы на каждом из них было отмечено по две внутренние точки?

Рис. 41

а

б

в

г