Страница 18 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

26. Сравните на глаз отрезки $AB$ и $CD$ (рис. 35). Проверьте свои выводы измерением.

Рис. 35

$A$, $B$, $C$, $D$

$A$, $B$, $C$, $D$

$A$, $B$, $C$, $D$

а) При визуальном сравнении отрезков на рисунке а создается впечатление, что вертикальный отрезок $AB$ длиннее горизонтального отрезка $CD$. Это известная оптическая иллюзия (Т-иллюзия), из-за которой вертикальные линии воспринимаются как более длинные по сравнению с равными им по длине горизонтальными. Если же выполнить измерение с помощью линейки, то окажется, что длины отрезков равны.
Ответ: На глаз кажется, что $AB > CD$. Измерение показывает, что $AB = CD$.

б) На рисунке б изображена иллюзия Мюллера-Лайера. Визуально кажется, что отрезок $CD$, на концах которого стрелки направлены наружу, длиннее отрезка $AB$, у которого стрелки направлены внутрь. Однако, прямое измерение линейкой показывает, что длина отрезка $AB$ равна длине отрезка $CD$.
Ответ: На глаз кажется, что $CD > AB$. Измерение показывает, что $AB = CD$.

в) Третий рисунок (обозначим его в) является вариантом иллюзии Мюллера-Лайера. Отрезок $CD$, концы которого оформлены скобками, открывающимися наружу, кажется длиннее отрезка $AB$, у которого скобки направлены внутрь. Как и в предыдущих случаях, это лишь обман зрения. Измерение показывает, что длины отрезков одинаковы.
Ответ: На глаз кажется, что $CD > AB$. Измерение показывает, что $AB = CD$.

26. Назовите все отрезки, изображённые на рисунке 34.

Рис. 34

$AB$, $BC$, $AC$, $BK$

$OP$, $PT$, $OT$, $OR$, $PR$, $RT$

$AE$, $EC$, $CD$, $AC$, $ED$, $AD$

$NM$, $MQ$, $QP$, $PN$, $NE$, $EP$, $ME$, $EQ$, $NQ$

27. Сравните на глаз отрезки $AB$ и $BC$ (рис. 36). Проверьте свой вывод измерением.

Рис. 36

Сравнение отрезков на глаз

При визуальном сравнении отрезков AB и BC на рисунке 36 возникает оптическая иллюзия. Из-за контекста, создаваемого параллельными линиями, и разного наклона отрезков, создается ложное впечатление, что отрезок AB короче, чем отрезок BC.

Ответ: на глаз кажется, что отрезок AB короче отрезка BC.

Проверка вывода измерением

Для проверки сделанного вывода воспользуемся измерительным инструментом, например, линейкой. Сначала измерим длину отрезка AB. Затем измерим длину отрезка BC. Сравнив результаты измерений, мы обнаружим, что длины отрезков на самом деле одинаковы. Данная задача является классическим примером оптической иллюзии, который показывает, что не всегда стоит доверять визуальному восприятию в геометрии, и выводы необходимо проверять точными методами. Таким образом, результат измерения: $AB = BC$.

Ответ: измерение показывает, что длины отрезков AB и BC равны.

Рис. 35

27. Найдите длину каждого из отрезков, изображённых на рисунке 35, если единичный отрезок равен отрезку: 1) $AB$; 2) $MN$.

28. Назовите все отрезки, изображённые на рисунке 37.

Рис. 37

Отрезки:

$AB$

$BC$

$AC$

$BK$

Отрезки:

$OP$

$PT$

$OT$

$OR$

$RT$

а)

На данном рисунке изображены точки A, B, C, лежащие на одной прямой, и точка K, не лежащая на этой прямой. Отрезок – это часть прямой, ограниченная двумя точками, которые называются его концами. Чтобы найти все отрезки, необходимо перечислить все возможные пары точек, соединенные линией.

Рассмотрим отрезки, образованные точками на прямой:

• Отрезок с концами в точках A и B: AB.
• Отрезок с концами в точках B и C: BC.
• Отрезок с концами в точках A и C: AC.

Теперь рассмотрим отрезок, один из концов которого не лежит на прямой AC:

• Отрезок с концами в точках B и K: BK.

Таким образом, на рисунке а всего 4 отрезка.

Ответ: AB, BC, AC, BK.

б)

На данном рисунке изображен треугольник OPT и точка R, которая лежит на стороне PT.

Сначала перечислим отрезки, которые являются сторонами треугольника OPT:

• Сторона с концами в точках O и P: OP.
• Сторона с концами в точках P и T: PT.
• Сторона с концами в точках O и T: OT.

Точка R делит сторону PT на два меньших отрезка:

• Отрезок с концами в точках P и R: PR.
• Отрезок с концами в точках R и T: RT.

Также на рисунке есть отрезок, соединяющий вершину O с точкой R на противолежащей стороне:

• Отрезок с концами в точках O и R: OR.

Таким образом, на рисунке б всего 6 отрезков.

Ответ: OP, PT, OT, PR, RT, OR.

28. Какая из точек, отмеченных на рисунке 3б, лежит между двумя другими? Запишите соответствующее равенство, следующее из основного свойства длины отрезка.

29. Запишите все отрезки, изображённые на рисунке 38.

Рис. 38

a

Отрезки: $AE$, $EC$, $CD$, $AC$, $AD$, $ED$.

б

Отрезки: $NE$, $EP$, $PQ$, $QM$, $MN$, $ME$, $MQ$.

а

На рисунке а изображены точки $A$, $E$, $C$ и $D$, лежащие на одной прямой. Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Чтобы найти все отрезки, будем последовательно перечислять их, выбирая один из концов отрезка:
- отрезки с одним из концов в точке $A$: $AE, AC, AD$;
- отрезки с одним из концов в точке $E$, которые еще не были названы (то есть не $EA$): $EC, ED$;
- отрезок с одним из концов в точке $C$, который еще не был назван (то есть не $CA$ и не $CE$): $CD$.
Всего на рисунке а изображено 6 отрезков.

Ответ: $AE, AC, AD, EC, ED, CD$.

б

На рисунке б изображена фигура, состоящая из нескольких отрезков. Перечислим их все:
- стороны четырехугольника $MNPQ$: $MN, PQ, QM$;
- четвертая сторона четырехугольника $NP$, которая также является отрезком;
- отрезки, на которые точка $E$ делит сторону $NP$: $NE$ и $EP$;
- отрезок $ME$, соединяющий вершину $M$ с точкой $E$.
Всего на рисунке б изображено 7 отрезков.

Ответ: $MN, NP, PQ, QM, ME, NE, EP$.

29. Между какими точками лежит точка B (рис. 37)? Для каждого случая запишите соответствующее равенство, следующее из основного свойства длины отрезка.

30. Назовите вершины, концы и звенья ломаной, изображённой на рисунке 39.

Рис. 39

Вершины:

$A, B, C, D, E, F, K$

Концы:

$A, K$

Звенья:

$AB, BC, CD, DE, EF, FK$

Вершины
Вершины ломаной линии — это точки, являющиеся концами её звеньев. Для ломаной, изображённой на рисунке, вершинами являются все отмеченные точки.
Ответ: $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $K$.

Концы
Концы ломаной — это её начальная и конечная вершины, то есть те вершины, которые принадлежат только одному звену. В данном случае это точки $A$ и $K$.
Ответ: $A$ и $K$.

Звенья
Звенья ломаной — это отрезки, из которых она состоит. Они последовательно соединяют её вершины.
Ответ: $AB$, $BC$, $CD$, $DE$, $EF$, $FK$.

30. Точка D – внутренняя точка отрезка ME. Найдите:

1) расстояние между точками M и E, если $MD = 1,8$ дм, $DE = 2,6$ дм;

2) длину отрезка MD, если $ME = 42$ мм, $DE = 1,5$ см.

31. Запишите вершины, концы и звенья ломаной, изображённой на рисунке 40.

Рис. 40

Вершины:

$K$, $P$, $M$, $F$, $T$, $C$, $S$, $O$

Концы:

$K$, $O$

Звенья:

$\overline{KP}$, $\overline{PF}$, $\overline{FM}$, $\overline{MT}$, $\overline{TC}$, $\overline{CS}$, $\overline{SO}$

Вершины
Вершинами ломаной линии являются точки, в которых соединяются ее звенья. Для ломаной, изображенной на рисунке, вершинами являются все отмеченные точки. Перечислим их: $K$, $P$, $M$, $F$, $T$, $C$, $S$, $O$.
Ответ: $K$, $P$, $M$, $F$, $T$, $C$, $S$, $O$.

Концы
Концы ломаной — это ее начальная и конечная вершины, то есть те вершины, которые принадлежат только одному звену. В данном случае это точки $K$ и $O$.
Ответ: $K$, $O$.

Звенья
Звенья ломаной — это отрезки, из которых она состоит. Каждое звено соединяет две соседние вершины. Звеньями данной ломаной являются отрезки: $KP$, $PM$, $MF$, $FT$, $TC$, $CS$, $SO$.
Ответ: $KP$, $PM$, $MF$, $FT$, $TC$, $CS$, $SO$.

31. Точки A, B и C лежат на одной прямой (рис. 38). Какое из следующих утверждений верно:

1) $AB + BC = AC$;

2) $AC + AB = BC$?