Страница 21 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

45. Точка $C$ делит отрезок $AB$, длина которого равна $a$, на два отрезка.

Найдите расстояние между серединами отрезков $AC$ и $BC$.

Пусть дан отрезок $AB$, длина которого равна $a$. Точка $C$ принадлежит отрезку $AB$, следовательно, она лежит между точками $A$ и $B$. Это означает, что выполняется равенство: $AC + BC = AB$.

Обозначим середину отрезка $AC$ точкой $M$, а середину отрезка $BC$ — точкой $N$. Требуется найти расстояние между точками $M$ и $N$, то есть длину отрезка $MN$.

По определению середины отрезка:

• Длина отрезка $MC$ составляет половину длины отрезка $AC$, то есть $MC = \frac{AC}{2}$.
• Длина отрезка $CN$ составляет половину длины отрезка $BC$, то есть $CN = \frac{BC}{2}$.

Поскольку точка $C$ находится между точками $M$ и $N$, и все точки лежат на одной прямой, то длина отрезка $MN$ равна сумме длин отрезков $MC$ и $CN$:

$MN = MC + CN$

Подставим в это выражение найденные выше значения для $MC$ и $CN$:

$MN = \frac{AC}{2} + \frac{BC}{2}$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$MN = \frac{1}{2} (AC + BC)$

Из условия задачи мы знаем, что $AC + BC = AB = a$. Подставим это значение в полученную формулу:

$MN = \frac{1}{2} a = \frac{a}{2}$

Таким образом, расстояние между серединами отрезков $AC$ и $BC$ равно половине длины всего отрезка $AB$.

Ответ: $\frac{a}{2}$

45. Сколько точек надо отметить между точками $A$ и $B$, чтобы вместе с отрезком $AB$ образовалось шесть отрезков?

46. Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой. Найдите отрезок $BC$, если $AB = 24$ см, $AC = 32$ см. Сколько решений имеет задача?

Поскольку точки A, B и C лежат на одной прямой, то для нахождения длины отрезка BC необходимо рассмотреть все возможные варианты их взаимного расположения. Задача имеет несколько решений.

Случай 1: Точка B лежит между точками A и C.

В этом случае точки на прямой расположены в следующем порядке: A, B, C. Длина отрезка AC будет равна сумме длин отрезков AB и BC. Это можно записать в виде формулы:

$AC = AB + BC$

Из этой формулы мы можем выразить длину искомого отрезка BC:

$BC = AC - AB$

Подставляем известные значения $AB = 24$ см и $AC = 32$ см:

$BC = 32 \text{ см} - 24 \text{ см} = 8 \text{ см}$

Ответ: 8 см.

Случай 2: Точка A лежит между точками B и C.

В этом случае точки на прямой расположены в следующем порядке: B, A, C. Длина отрезка BC будет равна сумме длин отрезков BA (что то же самое, что и AB) и AC.

$BC = BA + AC$

Подставляем известные значения $AB = 24$ см и $AC = 32$ см:

$BC = 24 \text{ см} + 32 \text{ см} = 56 \text{ см}$

Ответ: 56 см.

Замечание: Случай, когда точка C лежит между точками A и B, невозможен. В этом случае должно было бы выполняться равенство $AB = AC + BC$. Подставив известные длины, получим $24 = 32 + BC$, что невозможно, так как длина отрезка BC не может быть отрицательной.

Сколько решений имеет задача?

Исходя из рассмотренных случаев, мы нашли два возможных значения для длины отрезка BC. Следовательно, задача имеет два решения.

Ответ: 2 решения.

46. На шкале линейки нанесены только деления 0 см, 5 см и 13 см (рис. 42). Как, пользуясь этой линейкой, можно построить отрезок длиной:

1) $3 \text{ см}$; 2) $2 \text{ см}$; 3) $1 \text{ см}$?

Рис. 42

47. На прямой отмечены точки A, B и C так, что $AB = 15 \text{ см}, AC = 9 \text{ см}$. Найдите расстояние между серединами отрезков AB и AC.

Поскольку в условии задачи не указано взаимное расположение точек B и C относительно точки A, необходимо рассмотреть два возможных случая.

Случай 1: Точки B и C лежат по одну сторону от точки A.

Пусть M — середина отрезка AB, а N — середина отрезка AC.
Расстояние от точки A до середины M отрезка AB равно $AM = \frac{AB}{2}$.
Расстояние от точки A до середины N отрезка AC равно $AN = \frac{AC}{2}$.
Если точки B и C находятся по одну сторону от A, то и их середины M и N также находятся по одну сторону от A. Расстояние между M и N будет равно модулю разности их расстояний от точки A.
$MN = |AM - AN| = |\frac{AB}{2} - \frac{AC}{2}| = \frac{|AB - AC|}{2}$.
Подставляем данные из условия: $AB = 15$ см, $AC = 9$ см.
$MN = \frac{|15 - 9|}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.
Ответ: 3 см.

Случай 2: Точки B и C лежат по разные стороны от точки A.

В этом случае точка A находится между точками B и C.
Пусть M — середина отрезка AB, а N — середина отрезка AC.
Расстояние от A до M равно $AM = \frac{AB}{2}$.
Расстояние от A до N равно $AN = \frac{AC}{2}$.
Поскольку M и N находятся по разные стороны от точки A, расстояние между ними будет равно сумме их расстояний от точки A.
$MN = AM + AN = \frac{AB}{2} + \frac{AC}{2} = \frac{AB + AC}{2}$.
Подставляем данные из условия: $AB = 15$ см, $AC = 9$ см.
$MN = \frac{15 + 9}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.
Ответ: 12 см.

47. На шкале линейки нанесены только деления 0 см, 7 см и 11 см. Как, пользуясь этой линейкой, можно построить отрезок длиной:

1) 8 см;

2) 5 см?

48. Отрезок $EF$ равен 12 см. Найдите на прямой $EF$ все точки, сумма расстояний от каждой из которых до концов отрезка $EF$ равна:

1) 12 см;

2) 15 см;

3) 10 см.

Для решения задачи проанализируем, как меняется сумма расстояний $ME + MF$ в зависимости от положения точки M на прямой EF, где $EF = 12$ см.

• Если точка M лежит на отрезке EF (включая концы), то по аксиоме измерения отрезков $ME + MF = EF = 12$ см.
• Если точка M лежит на прямой EF, но вне отрезка, то сумма расстояний $ME + MF$ будет строго больше длины отрезка $EF$. Это следует из неравенства треугольника, которое для точек на одной прямой гласит, что расстояние между двумя крайними точками равно сумме расстояний между соседними. Например, если M лежит на продолжении отрезка за точку F, то $ME = EF + MF$, и тогда $ME + MF = (EF + MF) + MF = EF + 2MF = 12 + 2MF > 12$ см.

Из этого следует, что минимальное значение суммы расстояний $ME + MF$ равно 12 см.

1) 12 см

Требуется найти все точки M на прямой EF, для которых сумма расстояний $ME + MF = 12$ см.Как было показано выше, эта сумма равна длине отрезка EF. Такое равенство выполняется тогда и только тогда, когда точка M лежит на отрезке EF. Любая точка, принадлежащая отрезку EF, включая его концы E и F, удовлетворяет этому условию.

Ответ: все точки отрезка EF.

2) 15 см

Требуется найти все точки M на прямой EF, для которых $ME + MF = 15$ см.Поскольку $15 \text{ см} > 12 \text{ см}$, искомые точки M должны лежать на прямой EF, но вне отрезка EF. Есть два таких случая.

а) Точка M лежит на продолжении отрезка за точкой F.В этом случае $ME + MF = EF + 2MF$. Подставляем известные значения:$12 + 2MF = 15$$2MF = 15 - 12$$2MF = 3$$MF = 1.5$ см.Таким образом, одна точка находится на расстоянии 1,5 см от точки F на продолжении отрезка EF.

б) Точка M лежит на продолжении отрезка за точкой E.В этом случае $ME + MF = 2ME + EF$. Подставляем известные значения:$2ME + 12 = 15$$2ME = 15 - 12$$2ME = 3$$ME = 1.5$ см.Таким образом, вторая точка находится на расстоянии 1,5 см от точки E на продолжении отрезка EF.

Ответ: существуют две такие точки. Одна расположена на прямой EF на расстоянии 1,5 см от точки E (вне отрезка), а другая — на расстоянии 1,5 см от точки F (вне отрезка).

3) 10 см

Требуется найти все точки M на прямой EF, для которых $ME + MF = 10$ см.Как было показано в начальном анализе, для любой точки M на прямой EF минимально возможная сумма расстояний до концов отрезка E и F равна длине самого отрезка, то есть 12 см. Это следует из неравенства треугольника: $ME + MF \ge EF$.В данном случае, мы имеем условие $ME + MF = 10$ см. Это приводит к ложному неравенству $10 \ge 12$.Следовательно, на прямой EF не существует точек, удовлетворяющих данному условию.

Ответ: таких точек не существует.

48. Составьте из прямоугольников размерами $1 \times 1$, $1 \times 2$, $1 \times 3$, ..., $1 \times 13$ прямоугольник, каждая сторона которого больше 1.

49. Через точки $A$ и $B$ проведена прямая. Где на этой прямой лежит точка $C$, расстояние от которой до точки $B$ в 2 раза больше расстояния от неё до точки $A$?

Пусть заданы две точки A и B, и через них проведена прямая. Нам нужно найти все точки C на этой прямой, для которых расстояние от C до B в два раза больше расстояния от C до A. Обозначим расстояние между точками X и Y как XY. Условие задачи можно записать в виде уравнения: $BC = 2 \cdot AC$.

Существует два возможных случая расположения точки C на прямой относительно точек A и B, которые удовлетворяют этому условию.

Случай 1: Точка C лежит между точками A и B
Если точка C находится на отрезке AB, то длина всего отрезка равна сумме длин его частей: $AB = AC + BC$.
Подставим в это равенство условие задачи $BC = 2 \cdot AC$:
$AB = AC + 2 \cdot AC$
$AB = 3 \cdot AC$
Отсюда выразим расстояние AC:
$AC = \frac{1}{3}AB$
Это означает, что точка C делит отрезок AB в отношении 1:2, считая от точки A.
Ответ: Точка C лежит на отрезке AB так, что её расстояние от точки A составляет одну треть длины отрезка AB.

Случай 2: Точка C лежит на прямой вне отрезка AB
В этом случае возможны два варианта: либо точка A лежит между C и B, либо точка B лежит между C и A.
1. Пусть точка A находится между C и B. Тогда порядок точек на прямой: C-A-B. В этом случае расстояние от C до B равно сумме расстояний: $BC = AC + AB$.
Подставим в это равенство условие задачи $BC = 2 \cdot AC$:
$2 \cdot AC = AC + AB$
Вычтем $AC$ из обеих частей уравнения:
$AC = AB$
Это означает, что точка C расположена на прямой на том же расстоянии от A, что и B, но с противоположной стороны. Таким образом, точка A является серединой отрезка CB. Это является вторым возможным решением.
2. Пусть точка B находится между C и A. Тогда порядок точек на прямой: C-B-A. В этом случае расстояние $AC$ будет больше расстояния $BC$ ($AC = CB + BA$). Это противоречит условию задачи $BC = 2 \cdot AC$, поскольку длины отрезков — положительные величины, и $BC$ не может быть вдвое больше $AC$, если $BC < AC$. Следовательно, такое расположение невозможно.
Ответ: Точка C лежит на прямой AB вне отрезка AB, так, что точка A является серединой отрезка CB (то есть расстояние $AC$ равно расстоянию $AB$ и точка A лежит между C и B).

49. Проведите два луча $AB$ и $AC$ так, чтобы они не были дополнительными. Постройте для каждого из этих лучей дополнительный луч. Обозначьте и запишите все образовавшиеся лучи.

50. Отрезок, длина которого равна 32 см, разделили на три неравных отрезка. Расстояние между серединами крайних отрезков равно 18 см. Найдите длину среднего отрезка.

Обозначим длины трех неравных отрезков, на которые разделили исходный отрезок, как $a$, $b$ и $c$. Пусть $a$ — длина первого крайнего отрезка, $b$ — длина среднего отрезка, и $c$ — длина второго крайнего отрезка.

Согласно условию, общая длина исходного отрезка равна 32 см. Следовательно, сумма длин трех его частей также равна 32 см. Мы можем записать это в виде первого уравнения:

$a + b + c = 32$

Далее, рассмотрим расстояние между серединами крайних отрезков. Пусть весь отрезок расположен на числовой оси, начиная с точки 0.

• Первый отрезок (длиной $a$) занимает промежуток от 0 до $a$. Его середина находится в точке $\frac{a}{2}$.
• Второй отрезок (длиной $b$) занимает промежуток от $a$ до $a+b$.
• Третий отрезок (длиной $c$) занимает промежуток от $a+b$ до $a+b+c$. Его середина находится в точке $(a+b) + \frac{c}{2}$.

Расстояние между серединами крайних отрезков — это разность координат их середин. По условию, это расстояние равно 18 см. Составим второе уравнение:

$\left( (a+b) + \frac{c}{2} \right) - \frac{a}{2} = 18$

Упростим это уравнение:

$a + b + \frac{c}{2} - \frac{a}{2} = 18$

$\frac{a}{2} + b + \frac{c}{2} = 18$

$\frac{a+c}{2} + b = 18$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с тремя неизвестными:

$ \begin{cases} a + b + c = 32 \\ \frac{a+c}{2} + b = 18 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим сумму длин крайних отрезков $(a+c)$ через длину среднего отрезка $b$:

$a+c = 32 - b$

Подставим полученное выражение для $(a+c)$ во второе уравнение:

$\frac{32 - b}{2} + b = 18$

Теперь решим это уравнение относительно $b$:

$16 - \frac{b}{2} + b = 18$

$16 + \frac{b}{2} = 18$

$\frac{b}{2} = 18 - 16$

$\frac{b}{2} = 2$

$b = 4$

Таким образом, длина среднего отрезка составляет 4 см.

Ответ: 4 см.

50. Проведите отрезок $AB$ и два луча $AB$ и $BA$. Являются ли эти лучи дополнительными? Ответ обоснуйте.

51. Какое наименьшее количество внутренних точек надо отметить на отрезках, изображённых на рисунке 49, чтобы на каждом из них было отмечено по две внутренние точки?

Рис. 49

а) На рисунке изображены два параллельных отрезка, которые не пересекаются. Чтобы на каждом из них было по две внутренние точки, нужно отметить по две точки на каждом отрезке независимо. Поскольку точки на одном отрезке не принадлежат другому, общее количество требуемых точек равно сумме точек для каждого отрезка. Таким образом, необходимо $2 + 2 = 4$ точки.

Ответ: 4.

б) На рисунке изображены два отрезка, пересекающиеся в одной точке. Чтобы минимизировать общее количество точек, следует использовать точку пересечения, так как она является общей для обоих отрезков. Отметим одну точку в месте пересечения. После этого на каждом отрезке будет по одной точке. Чтобы выполнить условие (по две точки на каждом), нужно добавить еще по одной точке на каждый отрезок. Эти точки должны быть отличны от точки пересечения. Таким образом, общее минимальное количество точек: 1 (в точке пересечения) + 1 (на первом отрезке) + 1 (на втором отрезке) = 3 точки.

Ответ: 3.

в) На рисунке изображены три отрезка, которые пересекаются в одной общей точке. Аналогично предыдущему случаю, для минимизации отмечаем точку в месте их общего пересечения. Теперь на каждом из трех отрезков есть по одной точке. Чтобы на каждом из них стало по две точки, необходимо добавить еще по одной точке на каждый из трех отрезков. В итоге получаем: 1 (в общей точке пересечения) + 1 (на первом отрезке) + 1 (на втором отрезке) + 1 (на третьем отрезке) = 4 точки.

Ответ: 4.

г) На рисунке изображены три отрезка, которые попарно пересекаются, образуя три различные точки пересечения. Заметим, что каждый отрезок содержит ровно две из этих трех точек пересечения. Например, верхний горизонтальный отрезок пересекается с двумя другими наклонными отрезками, и эти две точки пересечения лежат на нем. То же самое верно для двух других отрезков. Если мы отметим все три точки пересечения, то на каждом из трех отрезков окажется ровно по две отмеченные внутренние точки. Таким образом, достаточно отметить 3 точки. Это количество является минимальным, так как с помощью двух точек невозможно удовлетворить условие даже для двух пересекающихся отрезков.

Ответ: 3.

51. Начертите угол $\angle MNE$ и проведите лучи $NA$ и $NC$ между его сторонами. Запишите все образовавшиеся углы.

52. Сколько точек надо отметить на прямой $AB$ между точками $A$ и $B$, чтобы вместе с отрезком $AB$ образовалось шесть отрезков?

Пусть на прямой между точками $A$ и $B$ необходимо отметить $k$ новых точек. Изначально у нас есть 2 точки: $A$ и $B$. После добавления $k$ точек общее количество точек на отрезке станет $n = k + 2$.

Отрезок образуется парой любых двух точек на прямой. Чтобы найти общее количество отрезков, нужно вычислить, сколькими способами можно выбрать 2 точки из $n$ имеющихся. Это является классической задачей на нахождение числа сочетаний, которое вычисляется по формуле:

$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

Согласно условию задачи, общее число отрезков должно равняться 6. Подставим это значение в нашу формулу и получим уравнение:

$\frac{n(n-1)}{2} = 6$

Для решения этого уравнения умножим обе его части на 2:

$n(n-1) = 12$

Нам нужно найти такое целое число $n$, что произведение его на предыдущее целое число $(n-1)$ равно 12. Методом подбора легко найти, что $4 \cdot 3 = 12$. Следовательно, общее количество точек $n=4$.

Мы знаем, что общее количество точек $n$ связано с количеством добавленных точек $k$ соотношением $n = k + 2$. Подставим найденное значение $n=4$:

$4 = k + 2$

Отсюда находим $k$:

$k = 4 - 2 = 2$

Таким образом, чтобы получилось 6 отрезков, необходимо отметить 2 точки между точками $A$ и $B$.

Давайте проверим. Пусть мы отметили 2 точки, $C$ и $D$, между $A$ и $B$. Теперь у нас 4 точки: $A, C, D, B$. Посчитаем все возможные отрезки:

• Отрезки, состоящие из одного сегмента: $AC, CD, DB$ (3 отрезка).
• Отрезки, состоящие из двух сегментов: $AD, CB$ (2 отрезка).
• Отрезок, состоящий из трех сегментов: $AB$ (1 отрезок).

Всего отрезков: $3 + 2 + 1 = 6$. Решение верно.

Ответ: 2 точки.

52. Проведите лучи $OA$, $OB$, $OC$ и $OD$ так, чтобы луч $OC$ проходил между сторонами угла $AOB$, а луч $OD$ – между сторонами угла $BOC$.