Номер 48, страница 21 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 2. Отрезок и его длина. Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства - номер 48, страница 21.

48. Отрезок $EF$ равен 12 см. Найдите на прямой $EF$ все точки, сумма расстояний от каждой из которых до концов отрезка $EF$ равна:

1) 12 см;

2) 15 см;

3) 10 см.

Для решения задачи проанализируем, как меняется сумма расстояний $ME + MF$ в зависимости от положения точки M на прямой EF, где $EF = 12$ см.

• Если точка M лежит на отрезке EF (включая концы), то по аксиоме измерения отрезков $ME + MF = EF = 12$ см.
• Если точка M лежит на прямой EF, но вне отрезка, то сумма расстояний $ME + MF$ будет строго больше длины отрезка $EF$. Это следует из неравенства треугольника, которое для точек на одной прямой гласит, что расстояние между двумя крайними точками равно сумме расстояний между соседними. Например, если M лежит на продолжении отрезка за точку F, то $ME = EF + MF$, и тогда $ME + MF = (EF + MF) + MF = EF + 2MF = 12 + 2MF > 12$ см.

Из этого следует, что минимальное значение суммы расстояний $ME + MF$ равно 12 см.

1) 12 см

Требуется найти все точки M на прямой EF, для которых сумма расстояний $ME + MF = 12$ см.Как было показано выше, эта сумма равна длине отрезка EF. Такое равенство выполняется тогда и только тогда, когда точка M лежит на отрезке EF. Любая точка, принадлежащая отрезку EF, включая его концы E и F, удовлетворяет этому условию.

Ответ: все точки отрезка EF.

2) 15 см

Требуется найти все точки M на прямой EF, для которых $ME + MF = 15$ см.Поскольку $15 \text{ см} > 12 \text{ см}$, искомые точки M должны лежать на прямой EF, но вне отрезка EF. Есть два таких случая.

а) Точка M лежит на продолжении отрезка за точкой F.В этом случае $ME + MF = EF + 2MF$. Подставляем известные значения:$12 + 2MF = 15$$2MF = 15 - 12$$2MF = 3$$MF = 1.5$ см.Таким образом, одна точка находится на расстоянии 1,5 см от точки F на продолжении отрезка EF.

б) Точка M лежит на продолжении отрезка за точкой E.В этом случае $ME + MF = 2ME + EF$. Подставляем известные значения:$2ME + 12 = 15$$2ME = 15 - 12$$2ME = 3$$ME = 1.5$ см.Таким образом, вторая точка находится на расстоянии 1,5 см от точки E на продолжении отрезка EF.

Ответ: существуют две такие точки. Одна расположена на прямой EF на расстоянии 1,5 см от точки E (вне отрезка), а другая — на расстоянии 1,5 см от точки F (вне отрезка).

3) 10 см

Требуется найти все точки M на прямой EF, для которых $ME + MF = 10$ см.Как было показано в начальном анализе, для любой точки M на прямой EF минимально возможная сумма расстояний до концов отрезка E и F равна длине самого отрезка, то есть 12 см. Это следует из неравенства треугольника: $ME + MF \ge EF$.В данном случае, мы имеем условие $ME + MF = 10$ см. Это приводит к ложному неравенству $10 \ge 12$.Следовательно, на прямой EF не существует точек, удовлетворяющих данному условию.

Ответ: таких точек не существует.

48. Составьте из прямоугольников размерами $1 \times 1$, $1 \times 2$, $1 \times 3$, ..., $1 \times 13$ прямоугольник, каждая сторона которого больше 1.