Номер 41, страница 20 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 2. Отрезок и его длина. Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства - номер 41, страница 20.

41. Точка $C$ – внутренняя точка отрезка $AB$, длина которого равна 20 см. Найдите отрезки $AC$ и $BC$, если:

1) отрезок $AC$ на 5 см больше отрезка $BC$;

2) отрезок $AC$ в 4 раза меньше отрезка $BC$;

3) $AC : BC = 9 : 11$.

Поскольку точка C является внутренней точкой отрезка AB, то длина всего отрезка AB равна сумме длин его частей AC и BC. По условию, длина отрезка AB равна 20 см. Таким образом, для всех трех случаев выполняется равенство: $AC + BC = 20$.

1) отрезок AC на 5 см больше отрезка BC
Пусть длина отрезка BC равна $x$ см. Тогда, согласно условию, длина отрезка AC равна $(x + 5)$ см. Составим и решим уравнение:
$AC + BC = 20$
$(x + 5) + x = 20$
$2x + 5 = 20$
$2x = 20 - 5$
$2x = 15$
$x = 7.5$
Значит, длина отрезка $BC = 7.5$ см.
Длина отрезка AC будет равна: $AC = x + 5 = 7.5 + 5 = 12.5$ см.
Проверим: $12.5 + 7.5 = 20$ см.
Ответ: $AC = 12.5$ см, $BC = 7.5$ см.

2) отрезок AC в 4 раза меньше отрезка BC
Пусть длина отрезка AC равна $y$ см. Из условия следует, что отрезок BC в 4 раза длиннее, то есть его длина равна $4y$ см. Составим и решим уравнение:
$AC + BC = 20$
$y + 4y = 20$
$5y = 20$
$y = 20 / 5$
$y = 4$
Значит, длина отрезка $AC = 4$ см.
Длина отрезка BC будет равна: $BC = 4y = 4 \cdot 4 = 16$ см.
Проверим: $4 + 16 = 20$ см.
Ответ: $AC = 4$ см, $BC = 16$ см.

3) AC : BC = 9 : 11
Данное соотношение означает, что отрезок AB разделен на $9 + 11 = 20$ равных частей. При этом на отрезок AC приходится 9 таких частей, а на отрезок BC — 11 частей. Пусть $z$ — длина одной части. Тогда $AC = 9z$ и $BC = 11z$. Составим и решим уравнение:
$AC + BC = 20$
$9z + 11z = 20$
$20z = 20$
$z = 1$
Таким образом, длина одной части составляет 1 см. Найдем длины искомых отрезков:
$AC = 9z = 9 \cdot 1 = 9$ см.
$BC = 11z = 11 \cdot 1 = 11$ см.
Проверим: $9 + 11 = 20$ см.
Ответ: $AC = 9$ см, $BC = 11$ см.

41. Длина отрезка $EF$ равна 12 см. Найдите на прямой $EF$ все точки, для которых сумма расстояний от концов отрезка $EF$ до этих точек равна:

1) 12 см;

2) 15 см;

3) 10 см.