Номер 40, страница 20 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 2. Отрезок и его длина. Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства - номер 40, страница 20.

40. На клетчатой бумаге, длина стороны клетки которой равна 5 мм, отмечены точки $M, N$ и $K$ (рис. 46). Найдите расстояние от точки $M$ до середины отрезка $NK$.

Рис. 46

а

б

а

Для решения задачи введем декартову систему координат, где за единицу длины примем сторону одной клетки. Расположим начало координат в левом нижнем углу сетки на рисунке. Тогда оси будут направлены вправо (ось Ox) и вверх (ось Oy).

Определим координаты заданных точек в этой системе:

• Точка N находится на пересечении линий, соответствующих 1 единице по оси Ox и 3 единицам по оси Oy, следовательно, её координаты $N(1, 3)$.
• Точка K имеет координаты $K(1, 1)$.
• Точка M имеет координаты $M(3, 2)$.

Теперь найдем координаты середины отрезка NK. Обозначим эту точку как P. Координаты середины отрезка находятся как полусумма соответствующих координат его концов:

$x_P = \frac{x_N + x_K}{2} = \frac{1 + 1}{2} = 1$

$y_P = \frac{y_N + y_K}{2} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Таким образом, середина отрезка NK — это точка $P(1, 2)$.

Далее, найдем расстояние от точки $M(3, 2)$ до точки $P(1, 2)$ по формуле расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$:

$d(M, P) = \sqrt{(1 - 3)^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$.

Расстояние в выбранных нами единицах (сторонах клетки) равно 2. По условию задачи, длина стороны одной клетки составляет 5 мм. Следовательно, искомое расстояние равно:

$2 \times 5 \text{ мм} = 10 \text{ мм}$.

Ответ: 10 мм.

б

Поступим аналогично, введя систему координат с началом в левом нижнем углу и единичным отрезком, равным стороне клетки.

Определим координаты точек для второго случая:

• Точка N имеет координаты $N(2, 3)$.
• Точка K имеет координаты $K(2, 1)$.
• Точка M имеет координаты $M(1, 2)$.

Найдем координаты середины P отрезка NK:

$x_P = \frac{x_N + x_K}{2} = \frac{2 + 2}{2} = 2$

40. На прямой отмечены точки $A, B$ и $C$ так, что $AB = 15$ см, $AC = 9$ см.

Найдите расстояние между серединами отрезков $AB$ и $AC$.