Номер 39, страница 20 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 2. Отрезок и его длина. Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства - номер 39, страница 20.

39. На клетчатой бумаге, длина стороны клетки которой равна $5 \text{ мм}$, отмечены точки $A$, $B$ и $C$ (рис. 45). Найдите расстояние от точки $C$ до середины отрезка $AB$.

Рис. 45

а

б

Для решения задачи введем систему координат, в которой начало отсчета совпадает с одной из вершин клеток, а оси параллельны линиям сетки. За единицу длины примем сторону одной клетки, которая по условию равна 5 мм. Расстояние между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ будем вычислять по формуле: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$. Координаты середины отрезка с концами в точках $(x_A, y_A)$ и $(x_B, y_B)$ находятся по формулам: $x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$, $y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$.

а

Примем точку А за начало координат. Тогда ее координаты будут $A(0, 0)$.

Судя по рисунку, точка B находится на 4 клетки правее точки A. Следовательно, ее координаты $B(4, 0)$.

Точка C находится на 1 клетку правее и на 3 клетки выше точки A. Следовательно, ее координаты $C(1, 3)$.

Найдем координаты M — середины отрезка AB:

$x_M = \frac{0 + 4}{2} = 2$

$y_M = \frac{0 + 0}{2} = 0$

Таким образом, точка M имеет координаты $M(2, 0)$.

Теперь найдем расстояние от точки C до точки M. Это будет длина отрезка CM:

$CM = \sqrt{(2 - 1)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$ (клеток).

Поскольку длина стороны одной клетки равна 5 мм, то искомое расстояние равно:

$5 \times \sqrt{10} = 5\sqrt{10}$ мм.

Ответ: $5\sqrt{10}$ мм.

б

Примем точку А за начало координат. Тогда ее координаты будут $A(0, 0)$.

Судя по рисунку, точка B находится на 2 клетки правее и на 3 клетки выше точки A. Следовательно, ее координаты $B(2, 3)$.

Точка C находится на 4 клетки правее и на 1 клетку выше точки A. Следовательно, ее координаты $C(4, 1)$.

Найдем координаты M — середины отрезка AB:

$x_M = \frac{0 + 2}{2} = 1$

$y_M = \frac{0 + 3}{2} = 1.5$

Таким образом, точка M имеет координаты $M(1, 1.5)$.

Теперь найдем расстояние от точки C до точки M. Это будет длина отрезка CM:

$CM = \sqrt{(1 - 4)^2 + (1.5 - 1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (0.5)^2} = \sqrt{9 + 0.25} = \sqrt{9.25}$ (клеток).

Упростим полученное значение: $\sqrt{9.25} = \sqrt{\frac{925}{100}} = \frac{\sqrt{25 \times 37}}{10} = \frac{5\sqrt{37}}{10} = \frac{\sqrt{37}}{2}$.

Поскольку длина стороны одной клетки равна 5 мм, то искомое расстояние равно:

$5 \times \frac{\sqrt{37}}{2} = \frac{5\sqrt{37}}{2}$ мм.

Ответ: $\frac{5\sqrt{37}}{2}$ мм.

39. Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой. Найдите длину отрезка $BC$, если $AB = 24$ см, $AC = 32$ см. Сколько решений имеет задача?