Номер 52, страница 21 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 2. Отрезок и его длина. Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства - номер 52, страница 21.

52. Сколько точек надо отметить на прямой $AB$ между точками $A$ и $B$, чтобы вместе с отрезком $AB$ образовалось шесть отрезков?

Пусть на прямой между точками $A$ и $B$ необходимо отметить $k$ новых точек. Изначально у нас есть 2 точки: $A$ и $B$. После добавления $k$ точек общее количество точек на отрезке станет $n = k + 2$.

Отрезок образуется парой любых двух точек на прямой. Чтобы найти общее количество отрезков, нужно вычислить, сколькими способами можно выбрать 2 точки из $n$ имеющихся. Это является классической задачей на нахождение числа сочетаний, которое вычисляется по формуле:

$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

Согласно условию задачи, общее число отрезков должно равняться 6. Подставим это значение в нашу формулу и получим уравнение:

$\frac{n(n-1)}{2} = 6$

Для решения этого уравнения умножим обе его части на 2:

$n(n-1) = 12$

Нам нужно найти такое целое число $n$, что произведение его на предыдущее целое число $(n-1)$ равно 12. Методом подбора легко найти, что $4 \cdot 3 = 12$. Следовательно, общее количество точек $n=4$.

Мы знаем, что общее количество точек $n$ связано с количеством добавленных точек $k$ соотношением $n = k + 2$. Подставим найденное значение $n=4$:

$4 = k + 2$

Отсюда находим $k$:

$k = 4 - 2 = 2$

Таким образом, чтобы получилось 6 отрезков, необходимо отметить 2 точки между точками $A$ и $B$.

Давайте проверим. Пусть мы отметили 2 точки, $C$ и $D$, между $A$ и $B$. Теперь у нас 4 точки: $A, C, D, B$. Посчитаем все возможные отрезки:

• Отрезки, состоящие из одного сегмента: $AC, CD, DB$ (3 отрезка).
• Отрезки, состоящие из двух сегментов: $AD, CB$ (2 отрезка).
• Отрезок, состоящий из трех сегментов: $AB$ (1 отрезок).

Всего отрезков: $3 + 2 + 1 = 6$. Решение верно.

Ответ: 2 точки.

52. Проведите лучи $OA$, $OB$, $OC$ и $OD$ так, чтобы луч $OC$ проходил между сторонами угла $AOB$, а луч $OD$ – между сторонами угла $BOC$.