Номер 49, страница 21 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 2. Отрезок и его длина. Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства - номер 49, страница 21.

49. Через точки $A$ и $B$ проведена прямая. Где на этой прямой лежит точка $C$, расстояние от которой до точки $B$ в 2 раза больше расстояния от неё до точки $A$?

Пусть заданы две точки A и B, и через них проведена прямая. Нам нужно найти все точки C на этой прямой, для которых расстояние от C до B в два раза больше расстояния от C до A. Обозначим расстояние между точками X и Y как XY. Условие задачи можно записать в виде уравнения: $BC = 2 \cdot AC$.

Существует два возможных случая расположения точки C на прямой относительно точек A и B, которые удовлетворяют этому условию.

Случай 1: Точка C лежит между точками A и B
Если точка C находится на отрезке AB, то длина всего отрезка равна сумме длин его частей: $AB = AC + BC$.
Подставим в это равенство условие задачи $BC = 2 \cdot AC$:
$AB = AC + 2 \cdot AC$
$AB = 3 \cdot AC$
Отсюда выразим расстояние AC:
$AC = \frac{1}{3}AB$
Это означает, что точка C делит отрезок AB в отношении 1:2, считая от точки A.
Ответ: Точка C лежит на отрезке AB так, что её расстояние от точки A составляет одну треть длины отрезка AB.

Случай 2: Точка C лежит на прямой вне отрезка AB
В этом случае возможны два варианта: либо точка A лежит между C и B, либо точка B лежит между C и A.
1. Пусть точка A находится между C и B. Тогда порядок точек на прямой: C-A-B. В этом случае расстояние от C до B равно сумме расстояний: $BC = AC + AB$.
Подставим в это равенство условие задачи $BC = 2 \cdot AC$:
$2 \cdot AC = AC + AB$
Вычтем $AC$ из обеих частей уравнения:
$AC = AB$
Это означает, что точка C расположена на прямой на том же расстоянии от A, что и B, но с противоположной стороны. Таким образом, точка A является серединой отрезка CB. Это является вторым возможным решением.
2. Пусть точка B находится между C и A. Тогда порядок точек на прямой: C-B-A. В этом случае расстояние $AC$ будет больше расстояния $BC$ ($AC = CB + BA$). Это противоречит условию задачи $BC = 2 \cdot AC$, поскольку длины отрезков — положительные величины, и $BC$ не может быть вдвое больше $AC$, если $BC < AC$. Следовательно, такое расположение невозможно.
Ответ: Точка C лежит на прямой AB вне отрезка AB, так, что точка A является серединой отрезка CB (то есть расстояние $AC$ равно расстоянию $AB$ и точка A лежит между C и B).

49. Проведите два луча $AB$ и $AC$ так, чтобы они не были дополнительными. Постройте для каждого из этих лучей дополнительный луч. Обозначьте и запишите все образовавшиеся лучи.