Страница 19 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

32. Найдите длину каждого из отрезков, изображённых на рисунке 41, если единичный отрезок равен отрезку:

1) $AB$;

2) $MN$.

Рис. 41

Для решения задачи сначала определим длину каждого отрезка в условных единицах — клетках сетки. Для этого посчитаем, сколько клеток занимает каждый отрезок по горизонтали.

• Длина отрезка AB: 2 клетки.
• Длина отрезка CD: 3 клетки.
• Длина отрезка MN: 4 клетки.
• Длина отрезка KP: 6 клеток.
• Длина отрезка EF: 8 клеток.
• Длина отрезка ST: 9 клеток.

1)

Если единичный отрезок равен отрезку AB, это означает, что его длина принимается за 1. Так как длина отрезка AB составляет 2 клетки, то мы имеем соотношение: $2$ клетки $= 1$ единица длины. Отсюда следует, что длина одной клетки равна $1 \div 2 = 0.5$ единицы.

Теперь вычислим длины всех отрезков в этих единицах:

• Длина AB: $2 \text{ клетки} \times 0.5 = 1$
• Длина CD: $3 \text{ клетки} \times 0.5 = 1.5$
• Длина MN: $4 \text{ клетки} \times 0.5 = 2$
• Длина KP: $6 \text{ клеток} \times 0.5 = 3$
• Длина EF: $8 \text{ клеток} \times 0.5 = 4$
• Длина ST: $9 \text{ клеток} \times 0.5 = 4.5$

Ответ: $AB = 1$; $CD = 1.5$; $MN = 2$; $KP = 3$; $EF = 4$; $ST = 4.5$.

2)

Если единичный отрезок равен отрезку MN, это означает, что его длина принимается за 1. Так как длина отрезка MN составляет 4 клетки, то мы имеем соотношение: $4$ клетки $= 1$ единица длины. Отсюда следует, что длина одной клетки равна $1 \div 4 = 0.25$ единицы.

Теперь вычислим длины всех отрезков в этих новых единицах:

• Длина AB: $2 \text{ клетки} \times 0.25 = 0.5$
• Длина CD: $3 \text{ клетки} \times 0.25 = 0.75$
• Длина MN: $4 \text{ клетки} \times 0.25 = 1$
• Длина KP: $6 \text{ клетки} \times 0.25 = 1.5$
• Длина EF: $8 \text{ клетки} \times 0.25 = 2$
• Длина ST: $9 \text{ клетки} \times 0.25 = 2.25$

Ответ: $AB = 0.5$; $CD = 0.75$; $MN = 1$; $KP = 1.5$; $EF = 2$; $ST = 2.25$.

32. Точка $K$ является серединой отрезка $MN$. Можно ли совместить наложением:

1) отрезки $MK$ и $KN$;

2) отрезки $MK$ и $MN$?

33. Какая из точек, отмеченных на рисунке 42, лежит между двумя другими? Запишите соответствующее равенство, следующее из основного свойства длины отрезка.

Рис. 42

$ME + EP = MP$

Какая из точек, отмеченных на рисунке 42, лежит между двумя другими?

На представленном рисунке изображены три точки M, E и P, которые лежат на одной прямой. Анализируя их взаимное расположение, можно увидеть, что точка E находится на отрезке, концами которого являются точки M и P. Это означает, что точка E лежит между точками M и P.
Ответ: Точка E.

Запишите соответствующее равенство, следующее из основного свойства длины отрезка.

Основное свойство длины отрезка (также известное как аксиома сложения отрезков) гласит: если точка принадлежит отрезку, то она делит его на два отрезка, сумма длин которых равна длине исходного отрезка.

Поскольку точка E лежит на отрезке MP, она делит его на два меньших отрезка: ME и EP. Согласно указанному свойству, длина всего отрезка MP равна сумме длин его частей ME и EP. Это соотношение выражается следующим равенством:
$ME + EP = MP$
Ответ: $ME + EP = MP$.

33. Точка $K$ – середина отрезка $MN$, точка $E$ – середина отрезка $KN$, $EN = 5$ см. Найдите длины отрезков $MK$, $ME$ и $MN$.

34. Между какими точками лежит точка B (рис. 43)? Для каждого случая запишите соответствующее равенство, следующее из основного свойства длины отрезка.

Рис. 43

Точка B лежит между точками A и C.

При этом выполняется равенство: $AC = AB + BC$

Точка B также лежит между точками A и D.

При этом выполняется равенство: $AD = AB + BD$

Исходя из расположения точек на прямой, показанной на рисунке 43 (A, B, C, D), можно определить, что точка B лежит между двумя парами точек. Для каждой пары запишем соответствующее равенство, основанное на свойстве измерения отрезков (если точка делит отрезок, то длина всего отрезка равна сумме длин его частей).

Точка B лежит между точками A и C

В этом случае отрезок AC состоит из двух отрезков: AB и BC. Основное свойство длины отрезка для этого случая записывается так:

Ответ: $AC = AB + BC$

Точка B лежит между точками A и D

Рассматривая отрезок AD, мы видим, что точка B также лежит на нем. Она делит его на отрезки AB и BD. Равенство для этого случая будет следующим:

Ответ: $AD = AB + BD$

34. Точка C – внутренняя точка отрезка AB, длина которого равна 20 см. Найдите длины отрезков AC и BC, если:

1) длина отрезка AC на 5 см больше длины отрезка BC;

2) длина отрезка AC в 4 раза меньше длины отрезка BC;

3) $AC : BC = 9 : 11$.

35. Точка $D$ – внутренняя точка отрезка $ME$. Найдите:

1) расстояние между точками $M$ и $E$, если $MD = 1,8 \text{ дм}$, $DE = 2,6 \text{ дм}$;

2) отрезок $MD$, если $ME = 42 \text{ мм}$, $DE = 1,5 \text{ см}$.

Поскольку точка $D$ является внутренней точкой отрезка $ME$, то точки $M$, $D$ и $E$ лежат на одной прямой, причем точка $D$ находится между точками $M$ и $E$. Следовательно, длина всего отрезка $ME$ равна сумме длин его частей, отрезков $MD$ и $DE$. Это основное свойство измерения отрезков, которое можно записать в виде формулы: $ME = MD + DE$.

1) расстояние между точками M и E, если MD = 1,8 дм, DE = 2,6 дм;

Чтобы найти расстояние между точками $M$ и $E$, необходимо найти длину отрезка $ME$. По условию нам даны длины отрезков $MD$ и $DE$.
$MD = 1,8$ дм
$DE = 2,6$ дм
Единицы измерения одинаковы, поэтому можно сразу подставить значения в формулу:
$ME = MD + DE = 1,8 \text{ дм} + 2,6 \text{ дм} = 4,4 \text{ дм}$.
Ответ: 4,4 дм.

2) отрезок MD, если ME = 42 мм, DE = 1,5 см.

Чтобы найти длину отрезка $MD$, нужно из длины всего отрезка $ME$ вычесть длину известной части $DE$. Из основной формулы $ME = MD + DE$ выразим $MD$:
$MD = ME - DE$.
По условию нам даны длины $ME = 42$ мм и $DE = 1,5$ см. Эти длины выражены в разных единицах измерения. Прежде чем выполнять вычитание, приведем их к одной единице измерения. Переведем сантиметры в миллиметры, зная, что $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.
$DE = 1,5 \text{ см} = 1,5 \times 10 \text{ мм} = 15 \text{ мм}$.
Теперь, когда обе длины выражены в миллиметрах, найдем $MD$:
$MD = ME - DE = 42 \text{ мм} - 15 \text{ мм} = 27 \text{ мм}$.
Эту длину можно также выразить в сантиметрах: $27 \text{ мм} = 2,7 \text{ см}$.
Ответ: 27 мм.

35. Точка $K$ принадлежит отрезку $CD$, длина которого равна 28 см. Найдите длины отрезков $CK$ и $KD$, если:

1) длина отрезка $CK$ на 4 см меньше длины отрезка $KD$;

2) длина отрезка $CK$ в 6 раз больше длины отрезка $KD$;

3) $CK : KD = 3 : 4$.

36. Точки A, B и C лежат на одной прямой (рис. 44). Какое из следующих утверждений верно:

1) $AB + BC = AC$;

2) $AC + AB = BC$?

Рис. 44

На рисунке 44 показаны три точки A, B и C, которые лежат на одной прямой. Из расположения точек видно, что точка B находится между точками A и C. Это означает, что отрезок AC состоит из двух отрезков: AB и BC.

Согласно основной аксиоме измерения отрезков, если точка B лежит на отрезке AC, то длина отрезка AC равна сумме длин отрезков AB и BC. Математически это записывается как $AC = AB + BC$.

Проанализируем каждое утверждение:

1) $AB + BC = AC$

Это утверждение полностью соответствует аксиоме измерения отрезков для данного расположения точек. Сумма длин частей ($AB$ и $BC$) равна длине всего отрезка ($AC$). Следовательно, это утверждение является верным.

Ответ: утверждение верно.

2) $AC + AB = BC$

Это утверждение неверно. Так как длины отрезков $AB$ и $AC$ — положительные величины, их сумма не может быть равна длине отрезка $BC$, который, как видно из рисунка, короче отрезка $AC$. Если бы это равенство было верным, то, подставив в него $AC$ из первого пункта, мы бы получили: $(AB + BC) + AB = BC$, что упрощается до $2 \cdot AB = 0$. Это возможно, только если длина отрезка $AB$ равна нулю, то есть точки A и B совпадают, что противоречит рисунку.

Ответ: утверждение неверно.

36. Отрезки $AB$ и $CD$ равны (рис. 39). Докажите, что отрезки $AC$ и $BD$ также равны.

Рис. 39

Рис. 40

37. Точка $K$ является серединой отрезка $MN$. Можно ли совместить наложением:

1) отрезки $MK$ и $KN$;

2) отрезки $MK$ и $MN$?

1) отрезки MK и KN

По определению, середина отрезка — это точка, которая делит отрезок на два равных отрезка. Поскольку точка K является серединой отрезка MN, это означает, что длины отрезков MK и KN равны: $MK = KN$. Два отрезка можно совместить наложением (то есть они являются равными или конгруэнтными) тогда и только тогда, когда их длины равны. Так как длины отрезков MK и KN одинаковы, их можно совместить наложением.

Ответ: Да, можно.

2) отрезки MK и MN

Точка K, как середина отрезка MN, лежит между точками M и N. Длина всего отрезка MN равна сумме длин его частей, отрезков MK и KN. Математически это записывается как $MN = MK + KN$. Из условия задачи мы знаем, что K — середина, следовательно, $MK = KN$. Подставив это равенство в предыдущую формулу, получаем: $MN = MK + MK = 2 \cdot MK$. Это означает, что длина отрезка MN в два раза больше длины отрезка MK (при условии, что точки M и N не совпадают, и длина отрезка MN не равна нулю). Поскольку отрезки MK и MN имеют разную длину, их невозможно совместить наложением.

Ответ: Нет, нельзя.

Рис. 39

Рис. 40

37. Отрезки $ME$ и $FN$ равны (рис. 40). Докажите, что $MF = EN$.