Страница 17 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Сколько существует отрезков, концами которых являются две данные точки?

1. Сколько существует отрезков, концами которых являются две данные точки?

Для ответа на этот вопрос необходимо обратиться к основным понятиям и аксиомам геометрии.

Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти две точки называются концами отрезка.

Одна из фундаментальных аксиом геометрии гласит, что через любые две различные точки можно провести прямую, и притом только одну.

Пусть нам даны две различные точки, обозначим их $A$ и $B$. Согласно аксиоме, через эти две точки проходит единственная прямая. Отрезок, концами которого являются точки $A$ и $B$, представляет собой множество всех точек на этой прямой, расположенных между $A$ и $B$, включая и сами точки $A$ и $B$.

Поскольку прямая, проходящая через точки $A$ и $B$, уникальна, то и отрезок, соединяющий эти две точки, также является единственным. Следует отметить, что отрезок $AB$ и отрезок $BA$ — это один и тот же геометрический объект, так как порядок конечных точек не имеет значения для определения самого отрезка.

Таким образом, для двух данных различных точек существует только один отрезок, у которого эти точки являются концами.

Ответ: 1.

1. Сколько существует отрезков, концами которых являются две данные точки?

2. Какие два отрезка называют равными?

В геометрии два отрезка называют равными, если их можно совместить наложением. Это означает, что если один отрезок переместить в пространстве (не изгибая и не растягивая), то он может полностью совпасть с другим отрезком, то есть их концы совместятся.

Основное свойство равных отрезков — это равенство их длин. Длина отрезка — это положительное число, которое показывает, сколько раз в данном отрезке укладывается некоторый единичный отрезок (например, сантиметр). Поэтому на практике используется следующее определение:

Два отрезка равны, если равны их длины.

Например, если у нас есть отрезок $AB$ длиной 10 см и отрезок $CD$ длиной 10 см, то эти отрезки считаются равными. Равенство отрезков записывается с помощью знака равенства: $AB = CD$.

Ответ: Два отрезка называют равными, если они имеют одинаковую длину.

2. Из каких точек состоит отрезок $AB$?

3. Какие длины имеют равные отрезки?

По определению в геометрии, два отрезка называются равными, если их можно совместить наложением так, чтобы их концы совпали. Это означает, что расстояние между конечными точками одного отрезка точно такое же, как и расстояние между конечными точками другого.

Длина отрезка является числовой характеристикой этого расстояния. Следовательно, если отрезки равны, то их длины, выраженные в одних и тех же единицах измерения, будут одинаковыми (равными) числами.

Например, если отрезок $AB$ равен отрезку $CD$, то их длины также равны. Если длина отрезка $AB$ составляет 5 см, то и длина равного ему отрезка $CD$ тоже будет равна 5 см.

Ответ: равные отрезки имеют равные (одинаковые) длины.

3. Какие два отрезка называют равными?

4. Сформулируйте основное свойство длины отрезка.

Основное свойство длины отрезка, также известное как аксиома измерения отрезков, формулируется следующим образом:

Если точка C лежит на отрезке AB между его концами, то она разбивает его на два отрезка — AC и CB. При этом длина всего отрезка AB равна сумме длин его частей, отрезков AC и CB.

Математически это свойство выражается формулой:
$AB = AC + CB$

Например, если отрезок AB имеет длину 10 см, и на нем отмечена точка C так, что длина отрезка AC составляет 4 см, то длина отрезка CB будет равна $10 - 4 = 6$ см.

Это свойство является фундаментальным в геометрии и позволяет находить длины отрезков, зная длины их частей, и наоборот.

Ответ: Если точка делит отрезок на два отрезка, то длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков.

4. Какие длины имеют равные отрезки?

5. Что называют расстоянием между двумя точками?

Расстоянием между двумя точками в евклидовой геометрии называют длину отрезка прямой, который соединяет эти две точки. Это является кратчайшим путем между ними. Расстояние — это всегда неотрицательная скалярная величина.

В зависимости от пространства, в котором находятся точки, существуют стандартные формулы для вычисления расстояния на основе их координат.

На координатной прямой (в одномерном пространстве)
Если две точки A и B имеют координаты $x_1$ и $x_2$ соответственно, то расстояние $d$ между ними равно модулю разности их координат:
$d = |x_2 - x_1|$

На координатной плоскости (в двумерном пространстве)
Для двух точек с координатами $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ расстояние находится по формуле, вытекающей из теоремы Пифагора. Она представляет собой корень квадратный из суммы квадратов разностей соответствующих координат:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

В трехмерном пространстве
Для двух точек с координатами $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$ формула расстояния является обобщением двумерного случая:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

В более общем математическом смысле, расстояние (или метрика) $d(A, B)$ между точками A и B должно удовлетворять трем основным свойствам (аксиомам метрики):
1. Неотрицательность: Расстояние не может быть отрицательным ($d(A, B) \geq 0$). Оно равно нулю тогда и только тогда, когда точки A и B совпадают ($d(A, B) = 0 \iff A=B$).
2. Симметричность: Расстояние от точки A до точки B равно расстоянию от B до A ($d(A, B) = d(B, A)$).
3. Неравенство треугольника: Для любой третьей точки C расстояние между A и C не превышает суммы расстояний от A до B и от B до C ($d(A, C) \leq d(A, B) + d(B, C)$).

Ответ: Расстоянием между двумя точками называется длина отрезка, соединяющего эти точки.

5. Что можно сказать об отрезках, имеющих равные длины?

6. Какую точку называют серединой отрезка $AB$?

Серединой отрезка $AB$ называют точку, которая принадлежит этому отрезку и находится на одинаковом расстоянии от его концов (точек $A$ и $B$).

Пусть точка $C$ является серединой отрезка $AB$. Это означает, что выполняются два условия:
1. Точка $C$ лежит на отрезке $AB$ (то есть между точками $A$ и $B$).
2. Длины отрезков $AC$ и $CB$ равны между собой. Это можно записать в виде равенства: $AC = CB$.

Из этих условий следует, что точка $C$ делит отрезок $AB$ на две равные части, и длина каждой из этих частей равна половине длины всего отрезка $AB$:
$AC = CB = \frac{1}{2}AB$.

Ответ: Серединой отрезка $AB$ называют точку этого отрезка, которая делит его на два равных отрезка (делит его пополам).

6. Сформулируйте основное свойство длины отрезка.

20. Отметьте две точки $A$ и $B$ и проведите через них прямую. Отметьте точки $C$, $D$ и $E$, принадлежащие отрезку $AB$, и точки $F$, $M$ и $K$, не принадлежащие отрезку $AB$, но принадлежащие прямой $AB$.

Для выполнения данного задания необходимо последовательно выполнить следующие действия:

1. Построение прямой AB.

   Вначале на плоскости отметим две произвольные точки, которые обозначим как A и B. Через эти две точки, согласно основной аксиоме геометрии, можно провести единственную прямую. Проведем эту прямую. Эта прямая называется прямой AB.

2. Размещение точек C, D и E на отрезке AB.

   Отрезок AB — это часть прямой AB, ограниченная точками A и B, включая сами эти точки. Точки C, D и E должны принадлежать этому отрезку. Это означает, что они должны лежать между точками A и B. Порядок их расположения между A и B может быть любым. Например, A, C, D, E, B. Математически принадлежность точки отрезку записывается как $C \in [AB]$, $D \in [AB]$, $E \in [AB]$.

3. Размещение точек F, M и K на прямой AB, но вне отрезка AB.

   Точки F, M и K должны лежать на прямой AB, но не должны находиться между точками A и B. Это значит, что они расположены на прямой либо до точки A, либо после точки B. Например, точку F можно расположить так, что A находится между F и B, а точки M и K расположить так, что B находится между A и M, а также между A и K. Математически это условие можно записать как $F \in AB$ и $F \notin [AB]$.

Пример итогового расположения точек:

В результате на прямой AB точки могут быть расположены, например, в следующем порядке (слева направо):

... F ... A ... C ... D ... E ... B ... M ... K ...

На этой схеме наглядно показано, что:

• Все точки (A, B, C, D, E, F, M, K) лежат на одной прямой.
• Точки C, D, E находятся на отрезке AB, то есть между A и B.
• Точки F, M, K находятся на прямой AB, но вне отрезка AB. Точка F расположена "левее" A, а точки M и K — "правее" B.

Таким образом, все условия задачи выполнены.

Ответ:

На прямой, проходящей через точки А и В, отмечены точки. Точки C, D, E расположены между точками А и В (на отрезке АВ). Точки F, M, K расположены на той же прямой, но вне отрезка АВ (например, F находится на прямой до точки А, а точки M и K — после точки В).

20. Отметьте две точки $A$ и $B$ и проведите через них прямую. Отметьте точки $C$, $D$ и $E$, принадлежащие отрезку $AB$, и точки $F$, $M$ и $K$, не принадлежащие отрезку $AB$, но принадлежащие прямой $AB$.

21. Проведите прямую и отметьте на ней три точки. Сколько образовалось отрезков?

Чтобы решить эту задачу, начертим прямую линию и отметим на ней три различные точки. Для наглядности обозначим эти точки буквами А, В и С.

Визуально это можно представить так:
<–––––●–––––––●–––––––●–––––>
А В С

Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Теперь посчитаем все возможные отрезки, которые можно образовать, соединяя эти три точки попарно:

1. Отрезок, соединяющий точки А и В (отрезок АВ).
2. Отрезок, соединяющий точки В и С (отрезок ВС).
3. Отрезок, соединяющий крайние точки А и С (отрезок АС).

Больше никаких уникальных пар точек для создания отрезков нет. Таким образом, всего образовалось 3 отрезка.

Эту же задачу можно решить и математически, используя основы комбинаторики. У нас есть 3 точки, и для образования одного отрезка нужно выбрать 2 из них. Порядок выбора точек не имеет значения (отрезок АВ это то же самое, что и отрезок ВА). Количество таких сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее количество точек $n=3$, а для образования отрезка нам нужно выбрать $k=2$ точки. Подставим эти значения в формулу:

$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$

Оба метода показывают, что при наличии трех точек на прямой образуется 3 отрезка.

Ответ: 3.

21. Проведите прямую и отметьте на ней три точки. Сколько образовалось отрезков?

22. Отметьте на прямой точки $A$, $B$, $C$ и $D$ так, чтобы точка $C$ лежала между точками $A$ и $B$, а точка $D$ – между точками $B$ и $C$.

Для того чтобы отметить точки A, B, C и D на прямой в соответствии с заданными условиями, необходимо определить их взаимное расположение. Проанализируем условия пошагово.

Первое условие гласит: «точка C лежала между точками A и B». Это означает, что точка C находится на отрезке AB. Из этого следует, что порядок этих трех точек на прямой может быть либо A, C, B, либо B, C, A.

Второе условие гласит: «точка D — между точками B и C». Это означает, что точка D находится на отрезке BC. Соответственно, порядок этих трех точек может быть либо B, D, C, либо C, D, B.

Теперь нужно найти такое расположение всех четырех точек, которое удовлетворяет обоим условиям. Для этого объединим выводы.

Рассмотрим один из возможных порядков из второго условия, например, когда точки расположены как C, D, B. Теперь нам нужно расположить точку A так, чтобы выполнялось первое условие: C должна находиться между A и B. В нашем текущем порядке (C, D, B) точка B находится с одной стороны от точки C. Чтобы C оказалась между A и B, точка A должна находиться с другой стороны от C. Это приводит нас к следующему общему порядку для всех четырех точек: A, C, D, B.

Проверим, удовлетворяет ли найденный порядок A, C, D, B обоим условиям:

• Лежит ли точка C между точками A и B? Да, в этом порядке C находится на отрезке AB.
• Лежит ли точка D между точками B и C? Да, в этом порядке D находится на отрезке CB.

Оба условия выполнены. Следовательно, это правильное расположение точек. Отметим, что существует и второй правильный вариант, который является зеркальным отражением первого: B, D, C, A.

Схематически расположение точек на прямой можно изобразить так:

<—•————•———•—•————>

A C D B

Ответ: Точки на прямой можно отметить, например, в следующем порядке: A, C, D, B.

22. Отметьте на прямой точки $A$, $B$, $C$ и $D$ так, чтобы точка $C$ лежала между точками $A$ и $B$, а точка $D$ – между точками $B$ и $C$.

Рис. 32

$A$

$C$ $B$ $D$

$A$ $B$

$C$ $D$

$A$ $B$

$C$ $D$

23. Начертите незамкнутую ломаную, состоящую из четырёх звеньев и:

1) не имеющую самопересечений;

2) имеющую самопересечения.

1) не имеющую самопересечений;

Ломаная линия — это геометрическая фигура, состоящая из последовательно соединенных отрезков. Незамкнутая ломаная из четырех звеньев имеет 5 вершин. Обозначим их, например, $A, B, C, D, E$. Тогда звеньями будут отрезки $AB, BC, CD, DE$.

Ломаная не имеет самопересечений, если ее несоседние звенья (например, $AB$ и $CD$, или $BC$ и $DE$) не имеют общих точек, кроме, возможно, вершин. Ниже представлен чертеж такой ломаной.

На чертеже изображена незамкнутая ломаная $ABCDE$ с четырьмя звеньями, у которой нет самопересечений. Начало в точке $A$, конец в точке $E$, и они не совпадают.

Ответ: пример ломаной без самопересечений представлен на чертеже выше.

2) имеющую самопересечения.

Ломаная имеет самопересечения, если хотя бы одна пара ее несоседних звеньев пересекается в точке, не являющейся их общей вершиной. Ниже приведен пример незамкнутой ломаной из четырех звеньев, которая имеет самопересечение.

На чертеже изображена незамкнутая ломаная $ABCDE$. Ее первое звено $AB$ пересекается с третьим звеном $CD$. Это и есть самопересечение. Начало ломаной (точка $A$) и ее конец (точка $E$) не совпадают, поэтому она является незамкнутой.

Ответ: пример ломаной с самопересечением представлен на чертеже выше.

23. Отметьте на прямой точки A, B и C так, чтобы выполнялось равенство $AC = AB + BC$.

24. Начертите замкнутую ломаную, состоящую из пяти звеньев и:

1) не имеющую самопересечений;

2) имеющую самопересечения.

1) не имеющую самопересечений

Замкнутая ломаная, состоящая из пяти звеньев и не имеющая самопересечений, является простым пятиугольником. Это означает, что её звенья (стороны) не пересекаются друг с другом, кроме как в вершинах. В качестве примера можно начертить правильный пятиугольник.

Ответ: на рисунке выше представлен пример замкнутой ломаной из пяти звеньев без самопересечений — правильный пятиугольник.

2) имеющую самопересечения

Замкнутая ломаная из пяти звеньев, имеющая самопересечения, образует звёздчатый многоугольник. В такой фигуре некоторые звенья пересекают другие не в вершинах. Классическим примером такой фигуры является пентаграмма (пятиконечная звезда). Её можно получить, соединяя вершины правильного пятиугольника через одну.

Ответ: на рисунке выше представлен пример замкнутой ломаной из пяти звеньев с самопересечениями — пентаграмма.

24. Сравните на глаз отрезки $AB$ и $CD$ (рис. 32). Проверьте свои выводы измерением.

Рис. 32

a

б

в

25. Отметьте на прямой точки A, B и C так, чтобы выполнялось равенство $AC = AB + BC$.

Равенство $AC = AB + BC$ описывает свойство длин отрезков, расположенных на одной прямой. Оно означает, что длина отрезка, соединяющего точки $A$ и $C$, равна сумме длин двух отрезков $AB$ и $BC$.

Такое соотношение длин возможно только в одном случае взаимного расположения трех точек на прямой: когда точка $B$ находится между точками $A$ и $C$.

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим другие возможные варианты расположения:
1. Если точка $A$ лежит между точками $B$ и $C$, то длина самого большого отрезка $BC$ будет равна сумме длин его частей: $BC = BA + AC$. Это не соответствует условию.
2. Если точка $C$ лежит между точками $A$ и $B$, то длина самого большого отрезка $AB$ будет равна сумме длин его частей: $AB = AC + CB$. Это также не соответствует условию.

Таким образом, для выполнения заданного равенства необходимо отметить на прямой точки в таком порядке, чтобы $B$ была между $A$ и $C$.

Схематично правильное расположение точек можно изобразить следующим образом:
A————B————C

Ответ: Для выполнения равенства $AC = AB + BC$ точка $B$ должна быть расположена на прямой между точками $A$ и $C$. Схематичное изображение такого расположения:
A————B————C

25. Сравните на глаз отрезки $AB$ и $BC$ (рис. 33). Проверьте свой вывод измерением.

Рис. 33