Страница 12 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

7. Правильность изготовления линейки можно проверить так. Через две точки с помощью линейки провести линию. Затем линейку перевернуть и через эти же точки вдоль того же края линейки вновь провести ещё одну линию. Если линии совпадут, то линейка изготовлена правильно. Объясните почему.

Этот метод проверки правильности изготовления линейки основан на одной из фундаментальных аксиом евклидовой геометрии: через любые две различные точки можно провести прямую, и притом только одну.

Рассмотрим два возможных сценария.

1. Край линейки идеально прямой.
Пусть у нас есть две точки, $A$ и $B$. Когда мы прикладываем к ним идеально прямой край линейки и проводим линию, мы получаем отрезок прямой $AB$. Это единственная прямая, которую можно провести через эти две точки. Затем мы переворачиваем линейку. Переворот линейки – это, по сути, симметричное отражение относительно прямой, проходящей через точки $A$ и $B$. Поскольку край линейки прямой, его отражение совпадет с ним самим. Когда мы снова приложим этот край к точкам $A$ и $B$, мы проведем ту же самую, единственно возможную, прямую линию. В результате первая и вторая линии полностью совпадут.

2. Край линейки имеет дефект (не является прямым).
Предположим, что рабочий край линейки имеет небольшое искривление, например, он немного выпуклый. Когда мы проводим первую линию через точки $A$ и $B$, мы получаем не прямую, а кривую линию (дугу), которая изгибается в одну сторону (например, "вверх" от воображаемой прямой $AB$). Теперь, когда мы переворачиваем линейку, ее выпуклый край оказывается с другой стороны от точек $A$ и $B$. Проводя вторую линию вдоль того же края через те же точки, мы получим кривую, которая также выпукла, но изгибается уже в противоположную сторону ("вниз"). Эти две кривые линии будут пересекаться только в начальной и конечной точках ($A$ и $B$), но между ними они будут расходиться. Они не совпадут. Аналогичная ситуация возникнет при любом другом дефекте края (вогнутость, волнистость).

Таким образом, совпадение двух линий, проведенных описанным способом, возможно только в том случае, если край линейки является прямой линией. Этот метод позволяет выявить малейшие отклонения от прямой, так как при переворачивании линейки эти отклонения удваиваются в виде расхождения между двумя начерченными линиями.

Ответ: Этот способ проверки работает, потому что через две точки можно провести только одну прямую. Если край линейки прямой, то при его переворачивании и повторном проведении линии через те же две точки, новая линия совпадет с первой. Если же край линейки имеет искривление, то после переворачивания вторая линия будет симметричным отражением первой относительно прямой, соединяющей две точки, и не совпадет с ней.

7. Отметьте четыре точки так, чтобы при проведении прямой через каждые две из них на рисунке образовалось:

1) одна прямая;

2) четыре прямых;

3) шесть прямых.

Проведите эти прямые.

8. Пользуясь рисунком 17:

Рис. 17

1) определите, пересекаются ли прямые a и MK;
На рисунке 17 прямые $a$ и $MK$ изображены в виде отрезков. В геометрии прямая бесконечна в обе стороны. Если мысленно продолжить отрезки, представляющие прямые $a$ и $MK$, то они пересекутся. Это видно из их взаимного расположения и наклона.
Ответ: Да, прямые $a$ и $MK$ пересекаются.

2) укажите все отмеченные точки, принадлежащие прямой a; прямой MK;
Точка принадлежит прямой, если она лежит на этой прямой.

• Анализируя рисунок, мы видим, что на прямой $a$ расположены точки $D$ и $E$. Это можно записать как $D \in a$ и $E \in a$.
• Прямая $MK$ проходит через точки $M$ и $K$. Также на этой прямой лежит точка $F$. Это можно записать как $M \in MK$, $K \in MK$ и $F \in MK$.

Ответ: Прямой $a$ принадлежат точки: $D, E$. Прямой $MK$ принадлежат точки: $M, F, K$.

3) укажите все отмеченные точки, не принадлежащие прямой a; прямой MK;
Точка не принадлежит прямой, если она не лежит на этой прямой.

• Прямой $a$ не принадлежат все отмеченные на рисунке точки, кроме $D$ и $E$. Это точки $B, C, P, M, F, K$. Запись: $B \notin a, C \notin a, P \notin a, M \notin a, F \notin a, K \notin a$.
• Прямой $MK$ не принадлежат все отмеченные на рисунке точки, кроме $M, F$ и $K$. Это точки $B, C, P, D, E$. Запись: $B \notin MK, C \notin MK, P \notin MK, D \notin MK, E \notin MK$.

Ответ: Прямой $a$ не принадлежат точки: $B, C, P, M, F, K$. Прямой $MK$ не принадлежат точки: $B, C, P, D, E$.

4) укажите все отмеченные точки, принадлежащие прямой a, но не принадлежащие прямой MK.
Нам нужно найти точки, которые удовлетворяют двум условиям одновременно: точка принадлежит прямой $a$ ( $X \in a$ ) и точка не принадлежит прямой $MK$ ( $X \notin MK$ ).

1. Из пункта 2 мы знаем, что прямой $a$ принадлежат точки $D$ и $E$.
2. Из пункта 3 мы знаем, что прямой $MK$ не принадлежат точки $B, C, P, D, E$.

Сравнивая эти два списка, мы видим, что точки $D$ и $E$ присутствуют в обоих. Таким образом, точки $D$ и $E$ лежат на прямой $a$, но не лежат на прямой $MK$.
Ответ: $D, E$.

8. Пользуясь рисунком 17:

1) определите, пересекаются ли прямые $a$ и $MK$.

2) укажите все отмеченные точки, принадлежащие прямой $a$; прямой $MK$;

3) укажите все отмеченные точки, не принадлежащие прямой $a$; прямой $MK$;

4) укажите все отмеченные точки, принадлежащие прямой $a$, но не принадлежащие прямой $MK$:

Рис. 17

9. Пользуясь рисунком 18, укажите:

1) какие из отмеченных точек принадлежат прямой $p$, а какие не принадлежат ей;

2) каким прямым принадлежат точка $A$; точка $B$; точка $C$; точка $D$; точка $E$;

3) какие прямые проходят через точку $C$; точку $B$; точку $A$;

4) в какой точке пересекаются прямые $k$ и $p$; прямые $m$ и $k$;

5) в какой точке пересекаются три из четырёх изображённых на рисунке прямых.

Рис. 18

$m$ $A$

$n$ $B$ $D$

$p$ $C$ $k$

$E$

1) какие из отмеченных точек принадлежат прямой p, а какие не принадлежат ей;
Согласно рисунку 18, прямая $p$ — это наклонная линия, проходящая через точки $A$, $E$ и $B$. Точки $C$ и $D$ не лежат на этой прямой.
Ответ: прямой $p$ принадлежат точки $A, E, B$; не принадлежат ей точки $C, D$.

2) каким прямым принадлежат точка A; точка B; точка C; точка D; точка E;
Анализируя рисунок, определяем принадлежность каждой точки к прямым:
- Точка $A$ находится на пересечении трёх прямых: $m$, $p$ и $k$.
- Точка $B$ находится на пересечении прямых $n$ и $p$.
- Точка $C$ лежит на прямой $n$.
- Точка $D$ находится на пересечении прямых $n$ и $k$.
- Точка $E$ лежит на прямой $p$.
Ответ: точка $A$ принадлежит прямым $m, p, k$; точка $B$ — прямым $n, p$; точка $C$ — прямой $n$; точка $D$ — прямым $n, k$; точка $E$ — прямой $p$.

3) какие прямые проходят через точку C; точку B; точку A;
Определяем прямые, проходящие через указанные точки:
- Через точку $C$ проходит прямая $n$.
- Через точку $B$ проходят прямые $n$ и $p$.
- Через точку $A$ проходят прямые $m$, $p$ и $k$.
Ответ: через точку $C$ проходит прямая $n$; через точку $B$ — прямые $n$ и $p$; через точку $A$ — прямые $m, p, k$.

4) в какой точке пересекаются прямые k и p; прямые m и k;
Найдём точки пересечения указанных пар прямых на рисунке:
- Прямые $k$ и $p$ (две наклонные прямые) пересекаются в точке $A$.
- Прямая $m$ (верхняя горизонтальная) и прямая $k$ (правая наклонная) также пересекаются в точке $A$.
Ответ: прямые $k$ и $p$ пересекаются в точке $A$; прямые $m$ и $k$ пересекаются в точке $A$.

5) в какой точке пересекаются три из четырёх изображённых на рисунке прямых.
На рисунке изображены четыре прямые: $m, n, p, k$. Рассмотрим их точки пересечения. В точке $A$ пересекаются сразу три прямые: $m$, $p$ и $k$. В других отмеченных точках ($B$ и $D$) пересекаются только по две прямые.
Ответ: три прямые ($m, p, k$) пересекаются в точке $A$.

9. Пользуясь рисунком 18, укажите:

1) какие из отмеченных точек принадлежат прямой $p$, а какие не принадлежат ей;

2) каким прямым принадлежит каждая из точек $A$, $B$, $C$, $D$ и $E$;

3) какие прямые проходят через каждую из точек $C$, $B$ и $A$;

4) в какой точке пересекаются прямые $k$ и $p$, $m$ и $k$;

5) в какой точке пересекаются три из четырёх изображённых на рисунке прямых.

Рис. 17

Рис. 18

10. Точка $C$ принадлежит прямой $AB$. Являются ли различными прямые $AB$ и $AC$? Ответ обоснуйте.

Нет, прямые AB и AC не являются различными. Это одна и та же прямая.

Это следует из аксиомы геометрии, которая утверждает, что через любые две различные точки можно провести прямую, и притом только одну.

По условию, точка C принадлежит прямой AB. Это означает, что все три точки — A, B и C — лежат на одной прямой. Прямая AB — это уникальная прямая, проходящая через точки A и B. Прямая AC — это уникальная прямая, проходящая через точки A и C.

Поскольку все три точки (A, B, C) лежат на одной прямой, то прямая, проходящая через точки A и B, и прямая, проходящая через точки A и C, совпадают. Следовательно, AB и AC — это просто разные обозначения одной и той же прямой.

Ответ: Прямые AB и AC не являются различными, они совпадают.

10. Точка $C$ принадлежит прямой $AB$. Являются ли различными прямые $AB$ и $AC$? Ответ обоснуйте.

11. Провели четыре прямые, каждые две из которых пересекаются, причём через каждую точку пересечения проходят только две прямые. Сколько точек пересечения при этом образовалось?

Задача состоит в том, чтобы найти количество точек пересечения четырех прямых, при условии, что никакие две прямые не параллельны (каждые две пересекаются) и никакие три прямые не проходят через одну точку (через каждую точку пересечения проходят только две прямые).

Рассмотрим два способа решения этой задачи.

Способ 1: Последовательное построение

Можно представить, как мы последовательно проводим прямые на плоскости и считаем, сколько новых точек пересечения появляется на каждом шаге.

1. Проводим первую прямую. Точек пересечения нет.
2. Проводим вторую прямую. По условию, она пересекает первую. Это дает нам 1 точку пересечения.
3. Проводим третью прямую. Она должна пересечь две уже существующие прямые. Так как через одну точку не могут проходить три прямые, третья прямая создаст 2 новые точки пересечения. Общее число точек: $1 + 2 = 3$.
4. Проводим четвертую прямую. Она пересечет три предыдущие прямые в трех новых, различных точках. Это добавит еще 3 точки пересечения. Общее число точек: $3 + 3 = 6$.

Таким образом, общее количество точек пересечения равно сумме: $1 + 2 + 3 = 6$.

Способ 2: Комбинаторный метод

Каждая точка пересечения образуется парой уникальных прямых. Согласно условиям задачи, каждая пара прямых дает ровно одну точку пересечения. Следовательно, количество точек пересечения равно количеству способов выбрать 2 прямые из 4 данных.

Это задача на нахождение числа сочетаний из $n$ по $k$, где $n=4$ (общее число прямых), а $k=2$ (число прямых, образующих одну точку пересечения).

Формула для числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Подставим наши значения $n=4$ и $k=2$ в формулу:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6$.

Оба метода приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 6

11. Провели четыре прямые, каждые две из которых пересекаются, причём через каждую точку пересечения проходят только две прямые. Сколько точек пересечения при этом образовалось?