Номер 7, страница 12 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 1. Точки и прямые. Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства - номер 7, страница 12.

7. Правильность изготовления линейки можно проверить так. Через две точки с помощью линейки провести линию. Затем линейку перевернуть и через эти же точки вдоль того же края линейки вновь провести ещё одну линию. Если линии совпадут, то линейка изготовлена правильно. Объясните почему.

Этот метод проверки правильности изготовления линейки основан на одной из фундаментальных аксиом евклидовой геометрии: через любые две различные точки можно провести прямую, и притом только одну.

Рассмотрим два возможных сценария.

1. Край линейки идеально прямой.
Пусть у нас есть две точки, $A$ и $B$. Когда мы прикладываем к ним идеально прямой край линейки и проводим линию, мы получаем отрезок прямой $AB$. Это единственная прямая, которую можно провести через эти две точки. Затем мы переворачиваем линейку. Переворот линейки – это, по сути, симметричное отражение относительно прямой, проходящей через точки $A$ и $B$. Поскольку край линейки прямой, его отражение совпадет с ним самим. Когда мы снова приложим этот край к точкам $A$ и $B$, мы проведем ту же самую, единственно возможную, прямую линию. В результате первая и вторая линии полностью совпадут.

2. Край линейки имеет дефект (не является прямым).
Предположим, что рабочий край линейки имеет небольшое искривление, например, он немного выпуклый. Когда мы проводим первую линию через точки $A$ и $B$, мы получаем не прямую, а кривую линию (дугу), которая изгибается в одну сторону (например, "вверх" от воображаемой прямой $AB$). Теперь, когда мы переворачиваем линейку, ее выпуклый край оказывается с другой стороны от точек $A$ и $B$. Проводя вторую линию вдоль того же края через те же точки, мы получим кривую, которая также выпукла, но изгибается уже в противоположную сторону ("вниз"). Эти две кривые линии будут пересекаться только в начальной и конечной точках ($A$ и $B$), но между ними они будут расходиться. Они не совпадут. Аналогичная ситуация возникнет при любом другом дефекте края (вогнутость, волнистость).

Таким образом, совпадение двух линий, проведенных описанным способом, возможно только в том случае, если край линейки является прямой линией. Этот метод позволяет выявить малейшие отклонения от прямой, так как при переворачивании линейки эти отклонения удваиваются в виде расхождения между двумя начерченными линиями.

Ответ: Этот способ проверки работает, потому что через две точки можно провести только одну прямую. Если край линейки прямой, то при его переворачивании и повторном проведении линии через те же две точки, новая линия совпадет с первой. Если же край линейки имеет искривление, то после переворачивания вторая линия будет симметричным отражением первой относительно прямой, соединяющей две точки, и не совпадет с ней.

7. Отметьте четыре точки так, чтобы при проведении прямой через каждые две из них на рисунке образовалось:

1) одна прямая;

2) четыре прямых;

3) шесть прямых.

Проведите эти прямые.