Номер 7, страница 11 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 1. Точки и прямые. Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства - номер 7, страница 11.

7. Сформулируйте теорему о двух пересекающихся прямых.

Существует несколько теорем, которые можно отнести к теме "две пересекающиеся прямые", в зависимости от рассматриваемого раздела геометрии. Наиболее фундаментальной и часто упоминаемой является теорема о равенстве вертикальных углов из курса планиметрии.

Теорема о вертикальных углах (Планиметрия)

Формулировка: Вертикальные углы равны.

Доказательство:

Пусть две прямые a и b пересекаются в точке O. При этом образуются четыре неразвернутых угла. Углы, стороны одного из которых являются продолжениями сторон другого, называются вертикальными. Пусть $ \angle 1 $ и $ \angle 3 $ — одна пара вертикальных углов, а $ \angle 2 $ и $ \angle 4 $ — вторая.

Углы, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными. Сумма смежных углов равна 180°. Угол $ \angle 1 $ является смежным с углами $ \angle 2 $ и $ \angle 4 $. Угол $ \angle 3 $ также является смежным с углами $ \angle 2 $ и $ \angle 4 $.

Рассмотрим пару смежных углов $ \angle 1 $ и $ \angle 2 $. Их сумма равна 180°:

$ \angle 1 + \angle 2 = 180^\circ $

Теперь рассмотрим пару смежных углов $ \angle 2 $ и $ \angle 3 $. Их сумма также равна 180°:

$ \angle 2 + \angle 3 = 180^\circ $

Поскольку правые части обоих равенств одинаковы, мы можем приравнять их левые части:

$ \angle 1 + \angle 2 = \angle 2 + \angle 3 $

Вычитая из обеих частей равенства $ \angle 2 $, получаем:

$ \angle 1 = \angle 3 $

Аналогично доказывается равенство углов $ \angle 2 $ и $ \angle 4 $. Таким образом, теорема доказана.

Теорема о единственности плоскости (Стереометрия)

Формулировка: Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну.

Пояснение: Эта теорема является одной из аксиом стереометрии или её следствием. Она устанавливает один из способов однозначного задания плоскости в пространстве. Если у нас есть две прямые, которые имеют ровно одну общую точку, то они лежат в одной, и только в одной, плоскости.

Ответ: В планиметрии теорема о двух пересекающихся прямых утверждает, что вертикальные углы, образованные при их пересечении, равны. В стереометрии соответствующая теорема гласит, что через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.

7. Сформулируйте теорему о двух пересекающихся прямых.