Номер 6, страница 11 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 1. Точки и прямые. Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства - номер 6, страница 11.

6. Проведите три прямые так, чтобы каждые две из них пересекались. Отметьте точки пересечения этих прямых. Сколько можно получить точек пересечения?

Для решения задачи необходимо рассмотреть все возможные варианты взаимного расположения трех прямых на плоскости, которые удовлетворяют условию, что каждые две из них пересекаются. Это условие означает, что среди трех прямых нет параллельных.

Проведите три прямые так, чтобы каждые две из них пересекались. Отметьте точки пересечения этих прямых.

Существует два принципиально разных способа расположить три попарно пересекающиеся прямые:

1. Все три прямые пересекаются в одной общей точке.
Чтобы добиться этого, нужно провести первую прямую, затем вторую, пересекающую первую в некоторой точке (назовем ее A). После этого третью прямую нужно провести так, чтобы она также прошла через эту же точку A. В этом случае каждая пара прямых (первая и вторая, вторая и третья, первая и третья) пересекается в этой единственной точке. Таким образом, мы получаем одну точку пересечения.

2. Прямые пересекаются попарно в трех разных точках.
Для этого проведем первую и вторую прямые, которые пересекаются в точке A. Затем проведем третью прямую так, чтобы она пересекала обе предыдущие прямые, но не проходила через точку A. Например, третья прямая пересечет первую в точке B, а вторую – в точке C. В этой конфигурации прямые образуют треугольник, вершинами которого являются три точки пересечения: A, B и C. Таким образом, мы получаем три различные точки пересечения.

Сколько можно получить точек пересечения?

Анализируя два возможных и единственных случая, описанных выше, мы можем определить количество точек пересечения:

• В первом случае (все прямые проходят через одну точку) мы получаем 1 точку пересечения.
• Во втором случае (прямые образуют треугольник) мы получаем 3 точки пересечения.

Другие варианты, такие как 0 или 2 точки, невозможны при выполнении заданного условия. 0 точек означало бы, что все прямые параллельны, а 2 точки получить нельзя, так как если третья прямая пересекает одну из двух уже пересекающихся прямых, она обязательно пересечет и вторую (поскольку не параллельна ей), что даст либо одну общую точку пересечения, либо три.

В общем виде, максимальное количество точек пересечения для $n$ прямых, из которых никакие две не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке, вычисляется по формуле числа сочетаний из $n$ по 2, так как каждая точка пересечения создается уникальной парой прямых:
$N_{max} = C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

Для нашей задачи, где $n=3$:
$N_{max} = C_3^2 = \frac{3(3-1)}{2} = \frac{3 \times 2}{2} = 3$

Это число (3) соответствует второму случаю и является максимально возможным. Минимально возможное число точек пересечения при выполнении условия попарного пересечения — 1 (первый случай).

Ответ: Можно получить 1 или 3 точки пересечения.

6. Проведите три прямые так, чтобы каждые две из них пересекались. Отметьте точки пересечения этих прямых. Сколько можно получить точек пересечения?