Номер 11, страница 12 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 1. Точки и прямые. Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства - номер 11, страница 12.

11. Провели четыре прямые, каждые две из которых пересекаются, причём через каждую точку пересечения проходят только две прямые. Сколько точек пересечения при этом образовалось?

Задача состоит в том, чтобы найти количество точек пересечения четырех прямых, при условии, что никакие две прямые не параллельны (каждые две пересекаются) и никакие три прямые не проходят через одну точку (через каждую точку пересечения проходят только две прямые).

Рассмотрим два способа решения этой задачи.

Способ 1: Последовательное построение

Можно представить, как мы последовательно проводим прямые на плоскости и считаем, сколько новых точек пересечения появляется на каждом шаге.

1. Проводим первую прямую. Точек пересечения нет.
2. Проводим вторую прямую. По условию, она пересекает первую. Это дает нам 1 точку пересечения.
3. Проводим третью прямую. Она должна пересечь две уже существующие прямые. Так как через одну точку не могут проходить три прямые, третья прямая создаст 2 новые точки пересечения. Общее число точек: $1 + 2 = 3$.
4. Проводим четвертую прямую. Она пересечет три предыдущие прямые в трех новых, различных точках. Это добавит еще 3 точки пересечения. Общее число точек: $3 + 3 = 6$.

Таким образом, общее количество точек пересечения равно сумме: $1 + 2 + 3 = 6$.

Способ 2: Комбинаторный метод

Каждая точка пересечения образуется парой уникальных прямых. Согласно условиям задачи, каждая пара прямых дает ровно одну точку пересечения. Следовательно, количество точек пересечения равно количеству способов выбрать 2 прямые из 4 данных.

Это задача на нахождение числа сочетаний из $n$ по $k$, где $n=4$ (общее число прямых), а $k=2$ (число прямых, образующих одну точку пересечения).

Формула для числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Подставим наши значения $n=4$ и $k=2$ в формулу:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6$.

Оба метода приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 6

11. Провели четыре прямые, каждые две из которых пересекаются, причём через каждую точку пересечения проходят только две прямые. Сколько точек пересечения при этом образовалось?