Номер 18, страница 13 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 1. Точки и прямые. Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства - номер 18, страница 13.

18. Можно ли отметить несколько точек и провести несколько прямых так, чтобы на каждой прямой лежали ровно три отмеченные точки и через каждую точку проходили ровно три из проведённых прямых?

Да, можно.

Для ответа на этот вопрос сначала проведём общие рассуждения, а затем построим конкретный пример такой конфигурации точек и прямых.

Пусть $N$ — это количество отмеченных точек, а $M$ — количество проведённых прямых. Посчитаем общее количество пар «точка–прямая», в которых точка лежит на прямой (такие пары называются инциденциями), двумя способами.

С одной стороны, по условию на каждой из $M$ прямых лежит ровно по 3 точки. Следовательно, общее число инциденций равно $3 \times M$.

С другой стороны, по условию через каждую из $N$ точек проходит ровно по 3 прямые. Следовательно, общее число инциденций равно $3 \times N$.

Приравнивая эти два выражения, мы получаем равенство:

$3M = 3N$

Отсюда следует, что $M = N$, то есть количество точек в такой конфигурации должно быть равно количеству прямых.

Теперь приведём пример такой конструкции. Наименьшая возможная нетривиальная конфигурация, удовлетворяющая этим условиям, известна как плоскость Фано. Она состоит из 7 точек и 7 прямых.

Обозначим 7 точек цифрами от 1 до 7. Тогда 7 прямых можно задать следующими наборами из трёх точек:

• Прямая $l_1$: {1, 2, 3}
• Прямая $l_2$: {1, 4, 5}
• Прямая $l_3$: {1, 6, 7}
• Прямая $l_4$: {2, 4, 6}
• Прямая $l_5$: {2, 5, 7}
• Прямая $l_6$: {3, 4, 7}
• Прямая $l_7$: {3, 5, 6}

Проверим, что для этой конфигурации выполняются оба условия задачи.

На каждой прямой лежали ровно три отмеченные точки

Это условие выполнено по построению. Каждая из 7 прямых ($l_1, \dots, l_7$) в нашем примере определена как набор, состоящий ровно из трёх точек.

Через каждую точку проходили ровно три из проведённых прямых

Проверим это условие для каждой из 7 точек, перечислив прямые, на которых она лежит:

• Точка 1 лежит на прямых: $l_1, l_2, l_3$ (3 прямые).
• Точка 2 лежит на прямых: $l_1, l_4, l_5$ (3 прямые).
• Точка 3 лежит на прямых: $l_1, l_6, l_7$ (3 прямые).
• Точка 4 лежит на прямых: $l_2, l_4, l_6$ (3 прямые).
• Точка 5 лежит на прямых: $l_2, l_5, l_7$ (3 прямые).
• Точка 6 лежит на прямых: $l_3, l_4, l_7$ (3 прямые).
• Точка 7 лежит на прямых: $l_3, l_5, l_6$ (3 прямые).

Как видим, через каждую точку проходит ровно три прямые. Таким образом, построенная конфигурация из 7 точек и 7 прямых полностью удовлетворяет условиям задачи.

Ответ: Да, можно.

18. Можно ли отметить несколько точек и провести несколько прямых так, чтобы на каждой прямой лежало ровно три отмеченные точки и через каждую точку проходило ровно три из проведённых прямых?