Номер 17, страница 13 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 1. Точки и прямые. Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства - номер 17, страница 13.

17. На плоскости проведены три прямые. На первой прямой отметили пять точек, на второй – семь точек, а на третьей – три точки. Каким может быть наименьшее количество отмеченных точек?

Чтобы найти наименьшее возможное количество отмеченных точек, необходимо расположить прямые так, чтобы максимальное количество отмеченных точек было общим для нескольких прямых. Общие точки для двух или более прямых — это точки их пересечения. Если бы общих точек не было, общее количество отметок было бы равно $5 + 7 + 3 = 15$. Минимизация общего количества точек достигается за счет максимизации числа совмещенных точек, то есть точек пересечения.

Рассмотрим различные возможные случаи взаимного расположения трех прямых на плоскости.

Случай 1: Все три прямые параллельны друг другу.
В этом случае прямые не пересекаются, и общих точек у них нет. Каждая отмеченная точка принадлежит только одной прямой. Следовательно, общее количество различных точек равно сумме точек на каждой прямой: $5 + 7 + 3 = 15$ точек.

Случай 2: Две прямые параллельны, а третья их пересекает.
В этом случае имеются две точки пересечения. Каждая точка пересечения является общей для двух прямых. Чтобы минимизировать общее число точек, мы должны считать, что эти точки пересечения входят в число отмеченных на соответствующих прямых. На третьей прямой отмечено 3 точки, и 2 из них могут быть точками пересечения (так как $2 \le 3$). Общее число различных точек будет равно суммарному числу отметок за вычетом числа общих точек: $15 - 2 = 13$ точек.

Случай 3: Все три прямые пересекаются в одной точке.
В этом случае есть одна общая точка для всех трех прямых. Мы можем считать эту точку одной из отмеченных на каждой прямой. Тогда количество различных точек будет равно сумме точек, уникальных для каждой прямой, плюс одна общая точка пересечения. Это составит $(5 - 1) + (7 - 1) + (3 - 1) + 1 = 4 + 6 + 2 + 1 = 13$ точек.

Случай 4: Прямые попарно пересекаются в трех разных точках (образуют треугольник).
Это случай, когда количество точек пересечения максимально, и их три. Чтобы общее число точек было наименьшим, эти три точки пересечения должны быть среди отмеченных. Проверим, возможно ли это:
– На первой прямой должно быть 5 точек, и две из них могут быть точками пересечения с двумя другими прямыми (так как $2 \le 5$).
– На второй прямой должно быть 7 точек, и две из них могут быть точками пересечения (так как $2 \le 7$).
– На третьей прямой должно быть 3 точки, и две из них могут быть точками пересечения (так как $2 \le 3$).
Все условия выполнимы. Подсчитаем общее количество различных точек в этом случае. Оно складывается из точек, принадлежащих только одной прямой, и точек пересечения.
Количество точек, принадлежащих только первой прямой: $5 - 2 = 3$.
Количество точек, принадлежащих только второй прямой: $7 - 2 = 5$.
Количество точек, принадлежащих только третьей прямой: $3 - 2 = 1$.
Количество точек пересечения: 3.
Суммарное количество различных точек: $3 + 5 + 1 + 3 = 12$ точек.

Сравнивая результаты всех рассмотренных случаев (15, 13, 13 и 12 точек), мы видим, что наименьшее возможное количество отмеченных точек достигается в последнем случае.

Ответ: 12.

17. На плоскости проведены три прямые. На первой прямой отметили пять точек, на второй – семь точек, а на третьей – три точки. Каким может быть наименьшее количество отмеченных точек?