Номер 14, страница 13 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 1. Точки и прямые. Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства - номер 14, страница 13.

14. Провели четыре прямые, каждые две из которых пересекаются.

Сколько точек пересечения может образоваться?

Количество точек пересечения четырех прямых, из которых каждые две пересекаются (то есть среди них нет параллельных), зависит от того, сколько прямых проходит через одну и ту же точку. Рассмотрим все возможные случаи.

Случай 1: Максимальное количество точек (6 точек)
Этот случай реализуется, когда прямые находятся в "общем положении", то есть никакие три прямые не пересекаются в одной точке. Каждая пара прямых образует уникальную точку пересечения. Общее количество пар, которые можно составить из четырех прямых, равно числу сочетаний из 4 по 2: $C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$.
Следовательно, максимальное возможное количество точек пересечения равно 6.

Случай 2: Ровно три прямые пересекаются в одной точке (4 точки)
Если три прямые (например, $l_1, l_2, l_3$) пересекаются в одной точке $A$, то эти три прямые образуют всего одну точку пересечения вместо трех ($C_3^2=3$), которые были бы в общем положении. Четвертая прямая $l_4$ по условию должна пересечь каждую из первых трех прямых. Так как $l_4$ не проходит через точку $A$ (иначе все четыре прямые пересекались бы в одной точке), она образует три новые, различные точки пересечения. Итоговое количество точек в этом случае составляет: $1$ (общая точка для трех прямых) $+ 3$ (новые точки на четвертой прямой) $= 4$.
Таким образом, может образоваться 4 точки пересечения.

Случай 3: Все четыре прямые пересекаются в одной точке (1 точка)
Если все четыре прямые пересекаются в одной и той же точке $A$, то все шесть возможных пар прямых имеют одну и ту же точку пересечения. В этом случае образуется всего 1 точка пересечения.

Почему другие варианты невозможны?
Уменьшение количества точек по сравнению с максимальным (6) происходит, только когда три или более прямых пересекаются в одной точке, "сливая" несколько точек пересечения в одну.

• Если в одной точке пересекаются 3 прямые, мы теряем 2 точки (вместо 3 точек от попарного пересечения этих прямых мы получаем одну). Итого: $6 - 2 = 4$ точки.
• Если в одной точке пересекаются 4 прямые, мы теряем 5 точек (вместо 6 точек от попарного пересечения мы получаем одну). Итого: $6 - 5 = 1$ точка.

Невозможно "потерять" только одну точку или другое количество точек, отличное от 2 или 5. Например, потеря одной точки означала бы, что две разные пары прямых ($l_1 \cap l_2$ и $l_3 \cap l_4$) дают одну и ту же точку. Но это означает, что все четыре прямые проходят через одну точку, что приводит к потере 5 точек. Таким образом, промежуточные значения, такие как 2, 3 или 5 точек, невозможны.

Ответ: Может образоваться 1, 4 или 6 точек пересечения.

14. Провели четыре прямые, каждые две из которых пересекаются.

Сколько точек пересечения может образоваться?