Номер 15, страница 13 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 1. Точки и прямые. Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства - номер 15, страница 13.

15. Провели пять прямых, каждые две из которых пересекаются. Каково наименьшее возможное количество точек пересечения этих прямых? Какое наибольшее количество точек пересечения может образоваться?

Каково наименьшее возможное количество точек пересечения этих прямых?

Чтобы получить наименьшее количество точек пересечения, необходимо, чтобы как можно больше прямых пересекались в одной и той же точке. Условие задачи гласит, что "каждые две из которых пересекаются", что исключает наличие параллельных прямых.

Рассмотрим случай, когда все пять прямых проходят через одну общую точку. В такой конфигурации условие задачи выполняется, поскольку любая пара прямых будет иметь одну точку пересечения — эту самую общую точку.

В этом случае общее количество точек пересечения будет равно 1. Меньше одной точки пересечения быть не может, так как для пересечения хотя бы двух прямых уже необходима как минимум одна точка. Следовательно, наименьшее возможное количество точек пересечения — 1.

Ответ: 1.

Какое наибольшее количество точек пересечения может образоваться?

Чтобы получить наибольшее количество точек пересечения, необходимо, чтобы каждая пара прямых пересекалась в новой, уникальной точке. Это означает, что никакие три прямые не должны пересекаться в одной и той же точке (то есть, не должно быть конкурентных прямых).

Количество точек пересечения в этом случае равно количеству всех возможных пар прямых, которые можно составить из пяти данных прямых. Это задача на нахождение числа сочетаний.

Мы ищем число сочетаний из 5 элементов по 2, которое вычисляется по формуле: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ — общее количество прямых, а $k$ — количество прямых в одной группе (для пересечения нужно 2 прямые).

Подставляем наши значения: $n=5$, $k=2$. $C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$.

Таким образом, наибольшее возможное количество точек пересечения равно 10.

Ответ: 10.

15. Провели пять прямых, каждые две из которых пересекаются. Каково наименьшее возможное количество точек пересечения этих прямых? Какое наибольшее количество точек пересечения может образоваться?