Страница 13 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

12. Как надо расположить шесть точек, чтобы они определили шесть прямых?

В общем случае, когда никакие три точки не лежат на одной прямой, шесть точек определяют максимальное количество прямых. Это количество равно числу сочетаний из 6 по 2:

$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$ прямых.

Чтобы уменьшить количество прямых до шести, необходимо, чтобы некоторые точки были коллинеарны, то есть лежали на одной прямой. Требуется найти такое расположение, которое "убирает" ровно $15 - 6 = 9$ прямых по сравнению с общим случаем.

Рассмотрим следующую конфигурацию: пять точек лежат на одной прямой, а шестая точка находится вне этой прямой.

Подсчитаем количество прямых в этом случае:
1. Одна прямая, на которой лежат пять коллинеарных точек.
2. Пять прямых, каждая из которых проходит через шестую (внешнюю) точку и одну из пяти точек на первой прямой.

Таким образом, общее количество прямых составляет $1 + 5 = 6$, что полностью удовлетворяет условию задачи.

Ответ: Пять точек должны лежать на одной прямой, а шестая точка — вне этой прямой.

12. Как надо расположить шесть точек, чтобы они определили шесть прямых?

13. Данную прямую пересекают четыре прямые. Сколько может образоваться точек пересечения этих прямых с данной?

Пусть дана прямая $L$ и четыре другие прямые $l_1, l_2, l_3, l_4$. По условию, каждая из этих четырех прямых пересекает прямую $L$.

Две различные прямые могут пересекаться только в одной точке. Каждая из четырех прямых ($l_1, l_2, l_3, l_4$) образует с данной прямой $L$ ровно одну точку пересечения. Общее количество точек пересечения на прямой $L$ зависит от того, проходят ли некоторые из этих четырех прямых через одну и ту же точку на прямой $L$.

Рассмотрим все возможные случаи:

1. Четыре точки пересечения

Это максимальное возможное количество точек. Такой случай происходит, когда все четыре прямые пересекают данную прямую $L$ в четырех разных точках.

2. Три точки пересечения

Это возможно, если ровно две из четырех прямых пересекают прямую $L$ в одной и той же точке, а две другие прямые пересекают $L$ в двух других точках, отличных от первой и друг от друга.

3. Две точки пересечения

Такой случай возможен в двух вариантах:

• Ровно три прямые из четырех пересекаются с прямой $L$ в одной общей точке, а четвертая прямая пересекает $L$ в другой точке.
• Четыре прямые разбиваются на две пары, и каждая пара пересекает прямую $L$ в своей общей точке, причем эти две точки различны.

4. Одна точка пересечения

Это минимальное возможное количество точек. Такой случай происходит, когда все четыре прямые пересекают данную прямую $L$ в одной и той же точке.

Таким образом, число точек пересечения четырех прямых с данной прямой может быть 1, 2, 3 или 4.

Ответ: Может образоваться 1, 2, 3 или 4 точки пересечения.

13. Данную прямую пересекают четыре прямые. Сколько может образоваться точек пересечения этих прямых с данной?

14. Провели четыре прямые, каждые две из которых пересекаются.

Сколько точек пересечения может образоваться?

Количество точек пересечения четырех прямых, из которых каждые две пересекаются (то есть среди них нет параллельных), зависит от того, сколько прямых проходит через одну и ту же точку. Рассмотрим все возможные случаи.

Случай 1: Максимальное количество точек (6 точек)
Этот случай реализуется, когда прямые находятся в "общем положении", то есть никакие три прямые не пересекаются в одной точке. Каждая пара прямых образует уникальную точку пересечения. Общее количество пар, которые можно составить из четырех прямых, равно числу сочетаний из 4 по 2: $C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$.
Следовательно, максимальное возможное количество точек пересечения равно 6.

Случай 2: Ровно три прямые пересекаются в одной точке (4 точки)
Если три прямые (например, $l_1, l_2, l_3$) пересекаются в одной точке $A$, то эти три прямые образуют всего одну точку пересечения вместо трех ($C_3^2=3$), которые были бы в общем положении. Четвертая прямая $l_4$ по условию должна пересечь каждую из первых трех прямых. Так как $l_4$ не проходит через точку $A$ (иначе все четыре прямые пересекались бы в одной точке), она образует три новые, различные точки пересечения. Итоговое количество точек в этом случае составляет: $1$ (общая точка для трех прямых) $+ 3$ (новые точки на четвертой прямой) $= 4$.
Таким образом, может образоваться 4 точки пересечения.

Случай 3: Все четыре прямые пересекаются в одной точке (1 точка)
Если все четыре прямые пересекаются в одной и той же точке $A$, то все шесть возможных пар прямых имеют одну и ту же точку пересечения. В этом случае образуется всего 1 точка пересечения.

Почему другие варианты невозможны?
Уменьшение количества точек по сравнению с максимальным (6) происходит, только когда три или более прямых пересекаются в одной точке, "сливая" несколько точек пересечения в одну.

• Если в одной точке пересекаются 3 прямые, мы теряем 2 точки (вместо 3 точек от попарного пересечения этих прямых мы получаем одну). Итого: $6 - 2 = 4$ точки.
• Если в одной точке пересекаются 4 прямые, мы теряем 5 точек (вместо 6 точек от попарного пересечения мы получаем одну). Итого: $6 - 5 = 1$ точка.

Невозможно "потерять" только одну точку или другое количество точек, отличное от 2 или 5. Например, потеря одной точки означала бы, что две разные пары прямых ($l_1 \cap l_2$ и $l_3 \cap l_4$) дают одну и ту же точку. Но это означает, что все четыре прямые проходят через одну точку, что приводит к потере 5 точек. Таким образом, промежуточные значения, такие как 2, 3 или 5 точек, невозможны.

Ответ: Может образоваться 1, 4 или 6 точек пересечения.

14. Провели четыре прямые, каждые две из которых пересекаются.

Сколько точек пересечения может образоваться?

15. Провели пять прямых, каждые две из которых пересекаются. Каково наименьшее возможное количество точек пересечения этих прямых? Какое наибольшее количество точек пересечения может образоваться?

Каково наименьшее возможное количество точек пересечения этих прямых?

Чтобы получить наименьшее количество точек пересечения, необходимо, чтобы как можно больше прямых пересекались в одной и той же точке. Условие задачи гласит, что "каждые две из которых пересекаются", что исключает наличие параллельных прямых.

Рассмотрим случай, когда все пять прямых проходят через одну общую точку. В такой конфигурации условие задачи выполняется, поскольку любая пара прямых будет иметь одну точку пересечения — эту самую общую точку.

В этом случае общее количество точек пересечения будет равно 1. Меньше одной точки пересечения быть не может, так как для пересечения хотя бы двух прямых уже необходима как минимум одна точка. Следовательно, наименьшее возможное количество точек пересечения — 1.

Ответ: 1.

Какое наибольшее количество точек пересечения может образоваться?

Чтобы получить наибольшее количество точек пересечения, необходимо, чтобы каждая пара прямых пересекалась в новой, уникальной точке. Это означает, что никакие три прямые не должны пересекаться в одной и той же точке (то есть, не должно быть конкурентных прямых).

Количество точек пересечения в этом случае равно количеству всех возможных пар прямых, которые можно составить из пяти данных прямых. Это задача на нахождение числа сочетаний.

Мы ищем число сочетаний из 5 элементов по 2, которое вычисляется по формуле: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ — общее количество прямых, а $k$ — количество прямых в одной группе (для пересечения нужно 2 прямые).

Подставляем наши значения: $n=5$, $k=2$. $C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$.

Таким образом, наибольшее возможное количество точек пересечения равно 10.

Ответ: 10.

15. Провели пять прямых, каждые две из которых пересекаются. Каково наименьшее возможное количество точек пересечения этих прямых? Какое наибольшее количество точек пересечения может образоваться?

16. Можно ли провести шесть прямых и отметить на них 11 точек так, чтобы на каждой прямой было отмечено ровно четыре точки?

Да, можно. Приведем пример такой конфигурации.

Сначала проведем комбинаторный анализ. Если существует 6 прямых и на каждой из них лежит по 4 точки, то общее количество пар (точка, прямая), где точка лежит на прямой, или число инциденций, составляет $6 \times 4 = 24$.

С другой стороны, это же число можно получить, если сложить для каждой из 11 точек количество прямых, которые через нее проходят. Пусть $k_i$ — это количество прямых, проходящих через $i$-ю точку ($i$ от 1 до 11). Тогда должно выполняться равенство: $$ \sum_{i=1}^{11} k_i = 24 $$ Поскольку каждая из 11 точек должна быть отмечена, она должна лежать хотя бы на одной прямой, то есть $k_i \ge 1$.

Попробуем найти целочисленное решение этого уравнения, которое можно будет реализовать геометрически. Предположим, что часть точек лежит на пересечении 3 прямых (назовем их "тройные"), а остальные — на пересечении 2 прямых ("двойные"). Пусть $x$ — число тройных точек, а $y$ — число двойных. Получим систему уравнений: $$ \begin{cases} x + y = 11 \\ 3x + 2y = 24 \end{cases} $$ Решая эту систему (например, выразив $y = 11 - x$ из первого уравнения и подставив во второе), получаем $x=2$ и $y=9$.

Итак, наша цель — построить конфигурацию из 6 прямых и 11 точек, в которой есть 2 точки, принадлежащие трем прямым каждая, и 9 точек, принадлежащие двум прямым каждая.

Построение:

1. Возьмем на плоскости две различные точки, назовем их $A$ и $B$.
2. Через точку $A$ проведем три различные прямые: $l_1, l_2, l_3$.
3. Через точку $B$ проведем три другие различные прямые: $l_4, l_5, l_6$. Прямые следует выбрать так, чтобы ни одна из прямых первой тройки не была параллельна ни одной из прямых второй тройки, и чтобы ни одна из шести прямых не проходила через обе точки $A$ и $B$. Это и будут искомые 6 прямых.
4. В качестве 11 точек возьмем точки $A$, $B$ и все точки пересечения прямых из первой группы ($l_1, l_2, l_3$) с прямыми из второй группы ($l_4, l_5, l_6$).
   • Точка $A$ является пересечением трех прямых ($l_1, l_2, l_3$).
   • Точка $B$ является пересечением трех прямых ($l_4, l_5, l_6$).
   • Каждая прямая из первой группы пересекает каждую прямую из второй, образуя $3 \times 3 = 9$ точек пересечения. Каждая из этих 9 точек является точкой пересечения ровно двух прямых.
5. Таким образом, мы получили $1 + 1 + 9 = 11$ точек.
6. Проверим, сколько точек лежит на каждой прямой:
   • На прямой $l_1$ лежит точка $A$ и три точки ее пересечения с прямыми $l_4, l_5, l_6$. Итого 4 точки. Аналогично для прямых $l_2$ и $l_3$.
   • На прямой $l_4$ лежит точка $B$ и три точки ее пересечения с прямыми $l_1, l_2, l_3$. Итого 4 точки. Аналогично для прямых $l_5$ и $l_6$.

Все условия задачи выполнены: мы провели 6 прямых и отметили 11 точек так, что на каждой прямой находится ровно 4 точки.

Ответ: да, можно.

16. Можно ли провести шесть прямых и отметить на них 11 точек так, чтобы на каждой прямой было отмечено ровно четыре точки?

17. На плоскости проведены три прямые. На первой прямой отметили пять точек, на второй – семь точек, а на третьей – три точки. Каким может быть наименьшее количество отмеченных точек?

Чтобы найти наименьшее возможное количество отмеченных точек, необходимо расположить прямые так, чтобы максимальное количество отмеченных точек было общим для нескольких прямых. Общие точки для двух или более прямых — это точки их пересечения. Если бы общих точек не было, общее количество отметок было бы равно $5 + 7 + 3 = 15$. Минимизация общего количества точек достигается за счет максимизации числа совмещенных точек, то есть точек пересечения.

Рассмотрим различные возможные случаи взаимного расположения трех прямых на плоскости.

Случай 1: Все три прямые параллельны друг другу.
В этом случае прямые не пересекаются, и общих точек у них нет. Каждая отмеченная точка принадлежит только одной прямой. Следовательно, общее количество различных точек равно сумме точек на каждой прямой: $5 + 7 + 3 = 15$ точек.

Случай 2: Две прямые параллельны, а третья их пересекает.
В этом случае имеются две точки пересечения. Каждая точка пересечения является общей для двух прямых. Чтобы минимизировать общее число точек, мы должны считать, что эти точки пересечения входят в число отмеченных на соответствующих прямых. На третьей прямой отмечено 3 точки, и 2 из них могут быть точками пересечения (так как $2 \le 3$). Общее число различных точек будет равно суммарному числу отметок за вычетом числа общих точек: $15 - 2 = 13$ точек.

Случай 3: Все три прямые пересекаются в одной точке.
В этом случае есть одна общая точка для всех трех прямых. Мы можем считать эту точку одной из отмеченных на каждой прямой. Тогда количество различных точек будет равно сумме точек, уникальных для каждой прямой, плюс одна общая точка пересечения. Это составит $(5 - 1) + (7 - 1) + (3 - 1) + 1 = 4 + 6 + 2 + 1 = 13$ точек.

Случай 4: Прямые попарно пересекаются в трех разных точках (образуют треугольник).
Это случай, когда количество точек пересечения максимально, и их три. Чтобы общее число точек было наименьшим, эти три точки пересечения должны быть среди отмеченных. Проверим, возможно ли это:
– На первой прямой должно быть 5 точек, и две из них могут быть точками пересечения с двумя другими прямыми (так как $2 \le 5$).
– На второй прямой должно быть 7 точек, и две из них могут быть точками пересечения (так как $2 \le 7$).
– На третьей прямой должно быть 3 точки, и две из них могут быть точками пересечения (так как $2 \le 3$).
Все условия выполнимы. Подсчитаем общее количество различных точек в этом случае. Оно складывается из точек, принадлежащих только одной прямой, и точек пересечения.
Количество точек, принадлежащих только первой прямой: $5 - 2 = 3$.
Количество точек, принадлежащих только второй прямой: $7 - 2 = 5$.
Количество точек, принадлежащих только третьей прямой: $3 - 2 = 1$.
Количество точек пересечения: 3.
Суммарное количество различных точек: $3 + 5 + 1 + 3 = 12$ точек.

Сравнивая результаты всех рассмотренных случаев (15, 13, 13 и 12 точек), мы видим, что наименьшее возможное количество отмеченных точек достигается в последнем случае.

Ответ: 12.

17. На плоскости проведены три прямые. На первой прямой отметили пять точек, на второй – семь точек, а на третьей – три точки. Каким может быть наименьшее количество отмеченных точек?

18. Можно ли отметить несколько точек и провести несколько прямых так, чтобы на каждой прямой лежали ровно три отмеченные точки и через каждую точку проходили ровно три из проведённых прямых?

Да, можно.

Для ответа на этот вопрос сначала проведём общие рассуждения, а затем построим конкретный пример такой конфигурации точек и прямых.

Пусть $N$ — это количество отмеченных точек, а $M$ — количество проведённых прямых. Посчитаем общее количество пар «точка–прямая», в которых точка лежит на прямой (такие пары называются инциденциями), двумя способами.

С одной стороны, по условию на каждой из $M$ прямых лежит ровно по 3 точки. Следовательно, общее число инциденций равно $3 \times M$.

С другой стороны, по условию через каждую из $N$ точек проходит ровно по 3 прямые. Следовательно, общее число инциденций равно $3 \times N$.

Приравнивая эти два выражения, мы получаем равенство:

$3M = 3N$

Отсюда следует, что $M = N$, то есть количество точек в такой конфигурации должно быть равно количеству прямых.

Теперь приведём пример такой конструкции. Наименьшая возможная нетривиальная конфигурация, удовлетворяющая этим условиям, известна как плоскость Фано. Она состоит из 7 точек и 7 прямых.

Обозначим 7 точек цифрами от 1 до 7. Тогда 7 прямых можно задать следующими наборами из трёх точек:

• Прямая $l_1$: {1, 2, 3}
• Прямая $l_2$: {1, 4, 5}
• Прямая $l_3$: {1, 6, 7}
• Прямая $l_4$: {2, 4, 6}
• Прямая $l_5$: {2, 5, 7}
• Прямая $l_6$: {3, 4, 7}
• Прямая $l_7$: {3, 5, 6}

Проверим, что для этой конфигурации выполняются оба условия задачи.

На каждой прямой лежали ровно три отмеченные точки

Это условие выполнено по построению. Каждая из 7 прямых ($l_1, \dots, l_7$) в нашем примере определена как набор, состоящий ровно из трёх точек.

Через каждую точку проходили ровно три из проведённых прямых

Проверим это условие для каждой из 7 точек, перечислив прямые, на которых она лежит:

• Точка 1 лежит на прямых: $l_1, l_2, l_3$ (3 прямые).
• Точка 2 лежит на прямых: $l_1, l_4, l_5$ (3 прямые).
• Точка 3 лежит на прямых: $l_1, l_6, l_7$ (3 прямые).
• Точка 4 лежит на прямых: $l_2, l_4, l_6$ (3 прямые).
• Точка 5 лежит на прямых: $l_2, l_5, l_7$ (3 прямые).
• Точка 6 лежит на прямых: $l_3, l_4, l_7$ (3 прямые).
• Точка 7 лежит на прямых: $l_3, l_5, l_6$ (3 прямые).

Как видим, через каждую точку проходит ровно три прямые. Таким образом, построенная конфигурация из 7 точек и 7 прямых полностью удовлетворяет условиям задачи.

Ответ: Да, можно.

18. Можно ли отметить несколько точек и провести несколько прямых так, чтобы на каждой прямой лежало ровно три отмеченные точки и через каждую точку проходило ровно три из проведённых прямых?

19. Из фигур, имеющих вид уголка (рис. 19), сложите квадрат.

Рис. 19

Для решения данной задачи необходимо определить размеры искомого квадрата и способ расположения в нём фигурок-уголков.

1. Анализ площади
Фигурка-уголок, показанная на рисунке, состоит из 4-х единичных квадратов. Её площадь равна 4 условным единицам. Для того чтобы сложить из таких фигурок квадрат, его общая площадь $S$ должна быть кратна 4. Пусть для построения квадрата используется $N$ фигурок, тогда площадь квадрата будет $S = 4 \cdot N$. С другой стороны, площадь квадрата со стороной $a$ вычисляется по формуле $S = a^2$. Приравнивая два выражения для площади, получаем: $a^2 = 4N$. Из этого уравнения следует, что сторона квадрата $a$ должна быть чётным числом. Обозначим $a = 2k$, где $k$ — натуральное число. Тогда $(2k)^2 = 4N$, или $4k^2 = 4N$, что даёт нам $N = k^2$. Это означает, что для построения квадрата со стороной $2k$ потребуется $k^2$ фигурок.

2. Поиск минимального решения
Наименьший нетривиальный квадрат можно получить, взяв минимальное возможное значение $k$.

• Если $k=1$, то сторона квадрата $a=2$, а количество фигурок $N=1$. Однако одна фигурка-уголок не является квадратом.
• Если $k=2$, то сторона квадрата $a=4$, а количество фигурок $N=4$. Общая площадь составит $4 \times 4 = 16$ единичных квадратов, что соответствует суммарной площади четырех фигурок ($4 \times 4 = 16$). Это первый возможный вариант.

Таким образом, задача сводится к тому, чтобы уложить 4 фигурки-уголка в квадрат размером 4x4.

3. Построение квадрата
Сложить квадрат 4x4, используя только фигурки вида, показанного на рисунке (L-тетромино), невозможно. Однако, если допустить использование также и зеркально отраженных фигурок (J-тетромино), что часто подразумевается в задачах такого типа, то решение существует. Для этого нам понадобятся две оригинальные фигурки и две зеркальные.

Ниже приведена схема расположения четырёх таких уголков, которые в совокупности образуют квадрат 4x4. Для наглядности фигурки окрашены в разные цвета.

В этом решении:

• Синяя (1) и оранжевая (2) фигурки — это L-тетромино (как на рисунке в условии, но повёрнутые).
• Зелёная (3) и жёлтая (4) фигурки — это J-тетромино (зеркальные отражения фигурки из условия).

Ответ: Квадрат можно сложить из 4-х фигурок-уголков, если использовать две фигурки вида, указанного в условии, и две зеркально-отраженные фигурки. Они укладываются в квадрат 4x4, как показано на схеме выше.

19. Из фигур, имеющих вид уголка (рис. 19), сложите квадрат.