Номер 19, страница 13 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 1. Точки и прямые. Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства - номер 19, страница 13.

19. Из фигур, имеющих вид уголка (рис. 19), сложите квадрат.

Рис. 19

Для решения данной задачи необходимо определить размеры искомого квадрата и способ расположения в нём фигурок-уголков.

1. Анализ площади
Фигурка-уголок, показанная на рисунке, состоит из 4-х единичных квадратов. Её площадь равна 4 условным единицам. Для того чтобы сложить из таких фигурок квадрат, его общая площадь $S$ должна быть кратна 4. Пусть для построения квадрата используется $N$ фигурок, тогда площадь квадрата будет $S = 4 \cdot N$. С другой стороны, площадь квадрата со стороной $a$ вычисляется по формуле $S = a^2$. Приравнивая два выражения для площади, получаем: $a^2 = 4N$. Из этого уравнения следует, что сторона квадрата $a$ должна быть чётным числом. Обозначим $a = 2k$, где $k$ — натуральное число. Тогда $(2k)^2 = 4N$, или $4k^2 = 4N$, что даёт нам $N = k^2$. Это означает, что для построения квадрата со стороной $2k$ потребуется $k^2$ фигурок.

2. Поиск минимального решения
Наименьший нетривиальный квадрат можно получить, взяв минимальное возможное значение $k$.

• Если $k=1$, то сторона квадрата $a=2$, а количество фигурок $N=1$. Однако одна фигурка-уголок не является квадратом.
• Если $k=2$, то сторона квадрата $a=4$, а количество фигурок $N=4$. Общая площадь составит $4 \times 4 = 16$ единичных квадратов, что соответствует суммарной площади четырех фигурок ($4 \times 4 = 16$). Это первый возможный вариант.

Таким образом, задача сводится к тому, чтобы уложить 4 фигурки-уголка в квадрат размером 4x4.

3. Построение квадрата
Сложить квадрат 4x4, используя только фигурки вида, показанного на рисунке (L-тетромино), невозможно. Однако, если допустить использование также и зеркально отраженных фигурок (J-тетромино), что часто подразумевается в задачах такого типа, то решение существует. Для этого нам понадобятся две оригинальные фигурки и две зеркальные.

Ниже приведена схема расположения четырёх таких уголков, которые в совокупности образуют квадрат 4x4. Для наглядности фигурки окрашены в разные цвета.

В этом решении:

• Синяя (1) и оранжевая (2) фигурки — это L-тетромино (как на рисунке в условии, но повёрнутые).
• Зелёная (3) и жёлтая (4) фигурки — это J-тетромино (зеркальные отражения фигурки из условия).

Ответ: Квадрат можно сложить из 4-х фигурок-уголков, если использовать две фигурки вида, указанного в условии, и две зеркально-отраженные фигурки. Они укладываются в квадрат 4x4, как показано на схеме выше.

19. Из фигур, имеющих вид уголка (рис. 19), сложите квадрат.