Номер 5, страница 17 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 2. Отрезок и его длина. Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства - номер 5, страница 17.

5. Что называют расстоянием между двумя точками?

Расстоянием между двумя точками в евклидовой геометрии называют длину отрезка прямой, который соединяет эти две точки. Это является кратчайшим путем между ними. Расстояние — это всегда неотрицательная скалярная величина.

В зависимости от пространства, в котором находятся точки, существуют стандартные формулы для вычисления расстояния на основе их координат.

На координатной прямой (в одномерном пространстве)
Если две точки A и B имеют координаты $x_1$ и $x_2$ соответственно, то расстояние $d$ между ними равно модулю разности их координат:
$d = |x_2 - x_1|$

На координатной плоскости (в двумерном пространстве)
Для двух точек с координатами $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ расстояние находится по формуле, вытекающей из теоремы Пифагора. Она представляет собой корень квадратный из суммы квадратов разностей соответствующих координат:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

В трехмерном пространстве
Для двух точек с координатами $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$ формула расстояния является обобщением двумерного случая:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

В более общем математическом смысле, расстояние (или метрика) $d(A, B)$ между точками A и B должно удовлетворять трем основным свойствам (аксиомам метрики):
1. Неотрицательность: Расстояние не может быть отрицательным ($d(A, B) \geq 0$). Оно равно нулю тогда и только тогда, когда точки A и B совпадают ($d(A, B) = 0 \iff A=B$).
2. Симметричность: Расстояние от точки A до точки B равно расстоянию от B до A ($d(A, B) = d(B, A)$).
3. Неравенство треугольника: Для любой третьей точки C расстояние между A и C не превышает суммы расстояний от A до B и от B до C ($d(A, C) \leq d(A, B) + d(B, C)$).

Ответ: Расстоянием между двумя точками называется длина отрезка, соединяющего эти точки.

5. Что можно сказать об отрезках, имеющих равные длины?