Номер 16, страница 13 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 1. Точки и прямые. Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства - номер 16, страница 13.

16. Можно ли провести шесть прямых и отметить на них 11 точек так, чтобы на каждой прямой было отмечено ровно четыре точки?

Да, можно. Приведем пример такой конфигурации.

Сначала проведем комбинаторный анализ. Если существует 6 прямых и на каждой из них лежит по 4 точки, то общее количество пар (точка, прямая), где точка лежит на прямой, или число инциденций, составляет $6 \times 4 = 24$.

С другой стороны, это же число можно получить, если сложить для каждой из 11 точек количество прямых, которые через нее проходят. Пусть $k_i$ — это количество прямых, проходящих через $i$-ю точку ($i$ от 1 до 11). Тогда должно выполняться равенство: $$ \sum_{i=1}^{11} k_i = 24 $$ Поскольку каждая из 11 точек должна быть отмечена, она должна лежать хотя бы на одной прямой, то есть $k_i \ge 1$.

Попробуем найти целочисленное решение этого уравнения, которое можно будет реализовать геометрически. Предположим, что часть точек лежит на пересечении 3 прямых (назовем их "тройные"), а остальные — на пересечении 2 прямых ("двойные"). Пусть $x$ — число тройных точек, а $y$ — число двойных. Получим систему уравнений: $$ \begin{cases} x + y = 11 \\ 3x + 2y = 24 \end{cases} $$ Решая эту систему (например, выразив $y = 11 - x$ из первого уравнения и подставив во второе), получаем $x=2$ и $y=9$.

Итак, наша цель — построить конфигурацию из 6 прямых и 11 точек, в которой есть 2 точки, принадлежащие трем прямым каждая, и 9 точек, принадлежащие двум прямым каждая.

Построение:

1. Возьмем на плоскости две различные точки, назовем их $A$ и $B$.
2. Через точку $A$ проведем три различные прямые: $l_1, l_2, l_3$.
3. Через точку $B$ проведем три другие различные прямые: $l_4, l_5, l_6$. Прямые следует выбрать так, чтобы ни одна из прямых первой тройки не была параллельна ни одной из прямых второй тройки, и чтобы ни одна из шести прямых не проходила через обе точки $A$ и $B$. Это и будут искомые 6 прямых.
4. В качестве 11 точек возьмем точки $A$, $B$ и все точки пересечения прямых из первой группы ($l_1, l_2, l_3$) с прямыми из второй группы ($l_4, l_5, l_6$).
   • Точка $A$ является пересечением трех прямых ($l_1, l_2, l_3$).
   • Точка $B$ является пересечением трех прямых ($l_4, l_5, l_6$).
   • Каждая прямая из первой группы пересекает каждую прямую из второй, образуя $3 \times 3 = 9$ точек пересечения. Каждая из этих 9 точек является точкой пересечения ровно двух прямых.
5. Таким образом, мы получили $1 + 1 + 9 = 11$ точек.
6. Проверим, сколько точек лежит на каждой прямой:
   • На прямой $l_1$ лежит точка $A$ и три точки ее пересечения с прямыми $l_4, l_5, l_6$. Итого 4 точки. Аналогично для прямых $l_2$ и $l_3$.
   • На прямой $l_4$ лежит точка $B$ и три точки ее пересечения с прямыми $l_1, l_2, l_3$. Итого 4 точки. Аналогично для прямых $l_5$ и $l_6$.

Все условия задачи выполнены: мы провели 6 прямых и отметили 11 точек так, что на каждой прямой находится ровно 4 точки.

Ответ: да, можно.

16. Можно ли провести шесть прямых и отметить на них 11 точек так, чтобы на каждой прямой было отмечено ровно четыре точки?