Страница 11 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какую фигуру нельзя разбить на части?

1.

Этот вопрос является классической логической задачей из области геометрии. Любую геометрическую фигуру, которая обладает какой-либо протяженностью (длиной, площадью или объемом), можно разбить на более мелкие части. Например, отрезок можно разделить на два меньших отрезка, а квадрат можно разрезать на два прямоугольника или треугольника.

Однако существует одна основная, или фундаментальная, геометрическая фигура, которую по определению невозможно разделить. Это — точка.

Точка в геометрии — это абстрактный объект, который не имеет никаких измеримых характеристик. У нее нет ни длины, ни ширины, ни высоты. Её размерность равна нулю ($d=0$). Поскольку точка не имеет размера и не состоит из каких-либо других частей, её невозможно разбить. Она сама является простейшим, неделимым элементом, из которого состоят все остальные геометрические фигуры (линии, поверхности, тела).

Ответ: Точку.

1. Какую фигуру нельзя разбить на части?

2. Сформулируйте основное свойство прямой.

2. Основное свойство прямой, также известное как аксиома принадлежности, является одним из фундаментальных положений евклидовой геометрии. Оно устанавливает однозначную связь между точками и прямыми и формулируется следующим образом: через любые две различные точки можно провести прямую, и притом только одну.

Это означает, что для любых двух несовпадающих точек, например, точки $A$ и точки $B$, существует одна и только одна прямая, которая проходит через обе эти точки. Утверждение состоит из двух частей:

1. Существование: через любые две точки всегда можно провести хотя бы одну прямую.
2. Единственность: такая прямая может быть только одна.

Данное свойство является аксиомой, то есть утверждением, принимаемым без доказательства, на основе которого строятся дальнейшие геометрические рассуждения и доказываются теоремы. Из этого свойства, например, следует, что две различные прямые могут иметь не более одной общей точки. Если бы они пересекались в двух точках, то по этой аксиоме они должны были бы совпадать, что противоречило бы условию, что прямые различны.

Ответ: Через любые две различные точки проходит прямая, и притом только одна.

2. Сформулируйте основное свойство прямой.

3. Какое свойство прямой позволяет обозначать её, называя любые две точки прямой?

Обозначать прямую, называя любые две точки, принадлежащие ей, позволяет основное свойство (или аксиома) прямой в евклидовой геометрии. Эта аксиома утверждает, что через любые две различные точки можно провести прямую, и притом только одну.

Это означает, что для любой пары точек, например $A$ и $B$, существует только одна уникальная прямая, которая проходит через обе эти точки. Если мы выберем на этой же прямой две другие точки, например $C$ и $D$, то прямая, проходящая через $C$ и $D$, будет той же самой прямой, что и прямая, проходящая через $A$ и $B$. Поскольку прямая, определяемая любой парой своих точек, всегда одна и та же, её можно обозначать, используя имена любых двух точек, которые на ней лежат (например, прямая $AB$, прямая $CD$, прямая $AC$ — это всё одна и та же прямая).

Таким образом, именно свойство единственности прямой, проходящей через две точки, дает нам такую возможность.

Ответ: Свойство прямой, которое гласит, что через любые две различные точки проходит единственная прямая.

3. Какое свойство прямой позволяет обозначать её, называя любые две точки прямой?

4. Для чего используют определения?

Определения используют для того, чтобы точно, однозначно и полно раскрыть содержание (смысл) какого-либо понятия. Это фундаментальный инструмент в любой области знаний, от науки и права до повседневного общения. Основные функции определений:

1. Устранение неоднозначности. Многие слова могут иметь несколько значений. Определение закрепляет за термином конкретный смысл в данном контексте, что позволяет избежать путаницы и недопонимания. Например, в математике определение параллельных прямых как «прямых, лежащих в одной плоскости и не пересекающихся» четко отличает их от скрещивающихся прямых.

2. Создание общего языка. В науке, технике, юриспруденции и других сферах определения формируют единую терминологическую базу. Это позволяет специалистам точно и эффективно обмениваться информацией, будучи уверенными, что все участники диалога понимают термины одинаково.

3. Основа для логических построений и доказательств. В математике и логике определения являются отправной точкой для построения теорий и доказательства теорем. На основе аксиом и определений строится вся структура математического знания. Нельзя доказать теорему о свойствах равнобедренного треугольника, не дав сначала строгое определение, что это такое.

4. Классификация и систематизация знаний. Определения позволяют группировать объекты, явления или понятия по общим существенным признакам. Это помогает упорядочивать и систематизировать знания. Например, биологическая классификация видов основана на четких определениях каждого таксона (царства, типа, класса и т.д.).

5. Введение новых понятий. При открытии новых явлений или создании новых объектов (как материальных, так и абстрактных) им даются названия и определения, чтобы ввести их в научный оборот и объяснить их сущность и отличительные черты.

Таким образом, определения необходимы для обеспечения ясности, точности и строгости в мышлении и коммуникации, а также служат фундаментом для построения и передачи знаний.

Ответ: Определения используют для того, чтобы точно и однозначно установить смысл понятий, что необходимо для устранения неоднозначности, создания общего языка в науке и других сферах, построения логических теорий, классификации объектов и введения новых терминов.

4. Для чего используют определения?

5. Какие две прямые называют пересекающимися?

5.

Две прямые на плоскости называют пересекающимися, если они имеют ровно одну общую точку. Эта общая точка называется точкой пересечения прямых.

Если обозначить две прямые как $a$ и $b$, а их точку пересечения как $M$, то факт их пересечения можно записать с помощью символа пересечения множеств: $a \cap b = M$.

Взаимное расположение двух различных прямых на плоскости может быть только двух видов:

• Прямые имеют одну общую точку – они пересекаются.
• Прямые не имеют ни одной общей точки – они параллельны.

Если же прямые имеют две и более общих точек, то они совпадают, то есть являются одной и той же прямой. Таким образом, пересекающиеся прямые — это две различные прямые, которые не параллельны друг другу.

Ответ: Две прямые называют пересекающимися, если они имеют одну общую точку.

5. Какие две прямые называют пересекающимися?

6. Как называют утверждение, истинность которого устанавливают с помощью доказательства?

Утверждение, истинность которого устанавливают с помощью доказательства, называется теоремой. Теорема является фундаментальным понятием в математике и других дедуктивных науках. Она представляет собой логическое следствие из аксиом (исходных положений, принимаемых без доказательств) и ранее доказанных теорем.

Процесс установления истинности теоремы называется доказательством. Доказательство — это строгая последовательность логических рассуждений, которая показывает, что заключение теоремы неизбежно следует из её условий и принятых аксиом.

В структуре математического знания, помимо теорем, выделяют и другие виды утверждений:

• Аксиома — утверждение, принимаемое истинным без доказательства.
• Лемма — вспомогательная теорема, которая доказывается для того, чтобы упростить доказательство основной, более сложной теоремы.
• Следствие — утверждение, которое легко выводится из уже доказанной теоремы.
• Гипотеза — предположение, которое еще не доказано, но и не опровергнуто. После доказательства гипотеза становится теоремой.

Например, знаменитая теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин катетов ($a$ и $b$) равна квадрату длины гипотенузы ($c$). Это утверждение записывается формулой $a^2 + b^2 = c^2$ и имеет множество различных доказательств, основанных на аксиомах евклидовой геометрии.

Ответ: теорема.

6. Как называют утверждение, истинность которого устанавливают с помощью доказательства?

7. Сформулируйте теорему о двух пересекающихся прямых.

7. Сформулируйте теорему о двух пересекающихся прямых.

Существует несколько теорем, которые можно отнести к теме "две пересекающиеся прямые", в зависимости от рассматриваемого раздела геометрии. Наиболее фундаментальной и часто упоминаемой является теорема о равенстве вертикальных углов из курса планиметрии.

Теорема о вертикальных углах (Планиметрия)

Формулировка: Вертикальные углы равны.

Доказательство:

Пусть две прямые a и b пересекаются в точке O. При этом образуются четыре неразвернутых угла. Углы, стороны одного из которых являются продолжениями сторон другого, называются вертикальными. Пусть $ \angle 1 $ и $ \angle 3 $ — одна пара вертикальных углов, а $ \angle 2 $ и $ \angle 4 $ — вторая.

Углы, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными. Сумма смежных углов равна 180°. Угол $ \angle 1 $ является смежным с углами $ \angle 2 $ и $ \angle 4 $. Угол $ \angle 3 $ также является смежным с углами $ \angle 2 $ и $ \angle 4 $.

Рассмотрим пару смежных углов $ \angle 1 $ и $ \angle 2 $. Их сумма равна 180°:

$ \angle 1 + \angle 2 = 180^\circ $

Теперь рассмотрим пару смежных углов $ \angle 2 $ и $ \angle 3 $. Их сумма также равна 180°:

$ \angle 2 + \angle 3 = 180^\circ $

Поскольку правые части обоих равенств одинаковы, мы можем приравнять их левые части:

$ \angle 1 + \angle 2 = \angle 2 + \angle 3 $

Вычитая из обеих частей равенства $ \angle 2 $, получаем:

$ \angle 1 = \angle 3 $

Аналогично доказывается равенство углов $ \angle 2 $ и $ \angle 4 $. Таким образом, теорема доказана.

Теорема о единственности плоскости (Стереометрия)

Формулировка: Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну.

Пояснение: Эта теорема является одной из аксиом стереометрии или её следствием. Она устанавливает один из способов однозначного задания плоскости в пространстве. Если у нас есть две прямые, которые имеют ровно одну общую точку, то они лежат в одной, и только в одной, плоскости.

Ответ: В планиметрии теорема о двух пересекающихся прямых утверждает, что вертикальные углы, образованные при их пересечении, равны. В стереометрии соответствующая теорема гласит, что через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.

1. Проведите прямую, обозначьте её буквой $m$. Отметьте точки $A$ и $B$, лежащие на этой прямой, и точки $C, D, E$, не лежащие на ней.

Для решения данной задачи необходимо выполнить следующие действия:

1. Изобразить на плоскости прямую линию. Прямая не имеет начала и конца, поэтому на чертеже мы показываем только ее часть. Согласно условию, обозначим эту прямую строчной латинской буквой $m$.

2. Выбрать на прямой $m$ две любые точки и обозначить их заглавными латинскими буквами $A$ и $B$. То, что точки $A$ и $B$ лежат на прямой $m$, можно записать с помощью математического символа принадлежности: $A \in m$ и $B \in m$.

3. Выбрать три любые точки, которые не находятся на прямой $m$. Их можно расположить в любом месте плоскости, но не на самой прямой. Обозначим эти точки заглавными латинскими буквами $C$, $D$ и $E$. То, что эти точки не лежат на прямой $m$, записывается с помощью символа непринадлежности: $C \notin m$, $D \notin m$ и $E \notin m$.

Ниже представлен графический пример, иллюстрирующий выполнение задания.

Ответ:

На рисунке выше проведена прямая $m$. Точки $A$ и $B$ лежат на этой прямой ($A \in m, B \in m$). Точки $C$, $D$ и $E$ не лежат на этой прямой ($C \notin m, D \notin m, E \notin m$).

1. Проведите прямую, обозначьте её буквой $m$. Отметьте точки $A$ и $B$, лежащие на этой прямой, и точки $C$, $D$, $E$, не лежащие на ней.

2. Отметьте точки $M$ и $K$ и проведите через них прямую. Отметьте на этой прямой точку $E$. Запишите все возможные обозначения полученной прямой.

Согласно условию задачи, сначала отметим две произвольные точки $M$ и $K$. Через эти две точки, по аксиоме планиметрии, можно провести только одну прямую. Проведем эту прямую.

Далее, на этой же прямой отметим еще одну точку и назовем ее $E$. Теперь на нашей прямой лежат три точки: $M$, $K$ и $E$.

Прямую можно обозначать, используя любые две точки, которые на ней лежат. При этом порядок букв в названии не имеет значения. Например, прямая $MK$ и прямая $KM$ — это одна и та же прямая. Перечислим все возможные комбинации из двух точек для именования нашей прямой:

• Используя точки $M$ и $K$: прямую можно назвать $MK$ или $KM$.
• Используя точки $M$ и $E$: прямую можно назвать $ME$ или $EM$.
• Используя точки $K$ и $E$: прямую можно назвать $KE$ или $EK$.

Таким образом, мы получаем 6 различных вариантов обозначения одной и той же прямой.

Ответ: $MK$, $KM$, $ME$, $EM$, $KE$, $EK$.

2. Отметьте точки $M$ и $K$ и проведите через них прямую. Отметьте на этой прямой точку $E$. Запишите все возможные обозначения полученной прямой.

3. Проведите прямые $a$ и $b$ так, чтобы они пересекались. Обозначьте точку их пересечения буквой $C$. Принадлежит ли точка $C$ прямой $a$? прямой $b$?

Для решения задачи начертим две прямые, $a$ и $b$, таким образом, чтобы они имели одну общую точку. Такую точку называют точкой пересечения прямых. Согласно условию, обозначим эту точку буквой $C$. Математически факт пересечения прямых $a$ и $b$ в точке $C$ записывается как $C = a \cap b$.

Принадлежит ли точка C прямой a?
Точка $C$ является точкой пересечения прямых $a$ и $b$. По определению, точка пересечения — это точка, которая принадлежит одновременно обеим прямым. Следовательно, точка $C$ лежит на прямой $a$. В математике это обозначается символом принадлежности: $C \in a$.
Ответ: Да, точка C принадлежит прямой $a$.

прямой b?
По той же причине, что и в предыдущем пункте, точка $C$ принадлежит и прямой $b$. Так как $C$ — это общая точка для прямых $a$ и $b$, она по определению находится на каждой из этих прямых. Математическая запись: $C \in b$.
Ответ: Да, точка C принадлежит прямой $b$.

3. Проведите прямые $a$ и $b$ так, чтобы они пересекались. Обозначьте точку их пересечения буквой $C$. Принадлежит ли точка $C$ прямой $a$? Прямой $b$?

4. Отметьте три точки так, чтобы они не лежали на одной прямой, и через каждую пару точек проведите прямую. Сколько образовалось прямых?

4. Отметьте три точки так, чтобы они не лежали на одной прямой, и через каждую пару точек проведите прямую. Сколько образовалось прямых?

Для решения этой задачи нужно выполнить два шага: сначала отметить три точки, не лежащие на одной прямой, а затем посчитать, сколько прямых можно провести через все возможные пары этих точек.

1. Отметим три точки. Пусть это будут точки A, B и C. Условие "не лежат на одной прямой" означает, что эти точки образуют вершины треугольника.

2. Проведем прямые через каждую пару точек. Согласно основной аксиоме геометрии, через любые две различные точки можно провести единственную прямую. Перечислим все возможные пары точек и соответствующие им прямые:

• Через пару точек A и B можно провести одну прямую.
• Через пару точек B и C можно провести вторую прямую.
• Через пару точек A и C можно провести третью прямую.

Так как точки A, B и C не лежат на одной прямой, все три полученные прямые будут различными.

Эту же задачу можно решить с помощью комбинаторики. Нам нужно найти количество уникальных пар, которые можно составить из трех точек. Это является классической задачей на нахождение числа сочетаний из $n$ элементов по $k$, где $n=3$ (общее число точек), а $k=2$ (число точек для построения одной прямой).
Формула числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
Подставим наши значения:
$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot 1} = 3$
Таким образом, можно провести 3 прямые.
Ответ: 3 прямые.

5. Отметьте четыре точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой.

Чтобы отметить четыре точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой, нужно расположить их так, чтобы они не были выстроены в линию. Такое расположение точек в геометрии называется положением общего вида.

Самый простой и наглядный способ — это расположить точки в вершинах выпуклого четырехугольника. Например, можно представить вершины квадрата, прямоугольника или любой трапеции. Обозначим точки буквами $A$, $B$, $C$ и $D$.

Рассмотрим пошагово, как это сделать и почему это работает:
1. Отметьте первую точку $A$.
2. Отметьте вторую точку $B$. Через $A$ и $B$ проходит одна прямая.
3. Отметьте третью точку $C$ так, чтобы она не лежала на прямой $AB$. Теперь точки $A, B, C$ образуют треугольник.
4. Отметьте четвертую точку $D$ так, чтобы она не лежала ни на одной из прямых, соединяющих уже существующие пары точек: не на прямой $AB$, не на прямой $AC$ и не на прямой $BC$. Если расположить точку $D$ так, чтобы четырехугольник $ABCD$ был выпуклым (то есть ни одна вершина не лежит внутри треугольника, образованного тремя другими), то условие будет выполнено.

При таком расположении, например, в вершинах квадрата, любая тройка точек (например, $A, B, C$) будет образовывать треугольник, а не лежать на одной прямой. Это справедливо для всех четырех возможных комбинаций из трех точек: $(A, B, C)$, $(A, B, D)$, $(A, C, D)$ и $(B, C, D)$.

Ответ: Четыре точки следует отметить так, чтобы они являлись вершинами любого выпуклого четырехугольника (например, можно мысленно нарисовать квадрат и поставить точки в его углах).

5. Отметьте четыре точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой.

6. Проведите три прямые так, чтобы каждые две из них пересекались. Отметьте точки пересечения этих прямых. Сколько можно получить точек пересечения?

Для решения задачи необходимо рассмотреть все возможные варианты взаимного расположения трех прямых на плоскости, которые удовлетворяют условию, что каждые две из них пересекаются. Это условие означает, что среди трех прямых нет параллельных.

Проведите три прямые так, чтобы каждые две из них пересекались. Отметьте точки пересечения этих прямых.

Существует два принципиально разных способа расположить три попарно пересекающиеся прямые:

1. Все три прямые пересекаются в одной общей точке.
Чтобы добиться этого, нужно провести первую прямую, затем вторую, пересекающую первую в некоторой точке (назовем ее A). После этого третью прямую нужно провести так, чтобы она также прошла через эту же точку A. В этом случае каждая пара прямых (первая и вторая, вторая и третья, первая и третья) пересекается в этой единственной точке. Таким образом, мы получаем одну точку пересечения.

2. Прямые пересекаются попарно в трех разных точках.
Для этого проведем первую и вторую прямые, которые пересекаются в точке A. Затем проведем третью прямую так, чтобы она пересекала обе предыдущие прямые, но не проходила через точку A. Например, третья прямая пересечет первую в точке B, а вторую – в точке C. В этой конфигурации прямые образуют треугольник, вершинами которого являются три точки пересечения: A, B и C. Таким образом, мы получаем три различные точки пересечения.

Сколько можно получить точек пересечения?

Анализируя два возможных и единственных случая, описанных выше, мы можем определить количество точек пересечения:

• В первом случае (все прямые проходят через одну точку) мы получаем 1 точку пересечения.
• Во втором случае (прямые образуют треугольник) мы получаем 3 точки пересечения.

Другие варианты, такие как 0 или 2 точки, невозможны при выполнении заданного условия. 0 точек означало бы, что все прямые параллельны, а 2 точки получить нельзя, так как если третья прямая пересекает одну из двух уже пересекающихся прямых, она обязательно пересечет и вторую (поскольку не параллельна ей), что даст либо одну общую точку пересечения, либо три.

В общем виде, максимальное количество точек пересечения для $n$ прямых, из которых никакие две не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке, вычисляется по формуле числа сочетаний из $n$ по 2, так как каждая точка пересечения создается уникальной парой прямых:
$N_{max} = C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

Для нашей задачи, где $n=3$:
$N_{max} = C_3^2 = \frac{3(3-1)}{2} = \frac{3 \times 2}{2} = 3$

Это число (3) соответствует второму случаю и является максимально возможным. Минимально возможное число точек пересечения при выполнении условия попарного пересечения — 1 (первый случай).

Ответ: Можно получить 1 или 3 точки пересечения.

6. Проведите три прямые так, чтобы каждые две из них пересекались. Отметьте точки пересечения этих прямых. Сколько можно получить точек пересечения?