Страница 22 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

53. На шкале линейки нанесены только деления 0 см, 5 см и 13 см (рис. 50). Как, пользуясь этой линейкой, можно построить отрезок длиной:

Рис. 50

1) 3 см;

2) 2 см;

3) 1 см?

На этой линейке есть отметки 0, 5 и 13. Это позволяет нам отмерять отрезки следующей длины:

• $5 - 0 = 5$ см
• $13 - 0 = 13$ см
• $13 - 5 = 8$ см

Используя комбинации этих длин (сложение и вычитание), мы можем построить отрезки других длин.

1) 3 см

Чтобы построить отрезок длиной 3 см, можно взять разность длин отрезков в 8 см и 5 см: $8 - 5 = 3$ см.

Построение:

1. Начертим произвольную прямую и отметим на ней начальную точку А.
2. Приложим линейку к прямой так, чтобы отметка 5 см совпала с точкой А, и сделаем отметку B на уровне деления 13 см. Длина отрезка AB будет равна $13 - 5 = 8$ см.
3. Теперь от точки B отложим в обратном направлении (в сторону точки А) отрезок длиной 5 см. Для этого приложим линейку так, чтобы отметка 5 см совпала с точкой B, и сделаем отметку C на уровне деления 0 см. Точка С окажется между А и B.
4. Длина полученного отрезка AC и будет искомой, так как его длина равна $AC = AB - BC = 8$ см $ - 5$ см $= 3$ см.

Ответ: Отрезок длиной 3 см можно построить как разность отрезков 8 см и 5 см, то есть $(13 - 5) - 5 = 3$ см.

2) 2 см

Для построения отрезка длиной 2 см можно дважды отложить отрезок длиной 5 см, получив общую длину 10 см, а затем вычесть из неё длину отрезка в 8 см.

Построение:

1. Начертим произвольную прямую и отметим на ней начальную точку А.
2. От точки А отложим отрезок AB длиной 5 см (используя отметки 0 и 5).
3. От точки B отложим в том же направлении еще один отрезок BC длиной 5 см. Длина получившегося отрезка AC будет равна $5 + 5 = 10$ см.
4. Теперь от точки C отложим в обратном направлении (в сторону точки А) отрезок CD длиной 8 см (используя отметки 5 и 13).
5. Длина полученного отрезка AD и будет искомой, так как его длина равна $AD = AC - CD = 10$ см $ - 8$ см $= 2$ см.

Ответ: Отрезок длиной 2 см можно построить по формуле $2 \cdot 5 - (13 - 5) = 10 - 8 = 2$ см.

3) 1 см

Построить отрезок длиной 1 см можно, найдя такую комбинацию сложений и вычитаний доступных длин, которая в результате даст 1. Один из способов — получить 1 см как разность длин 16 см и 15 см. Длину 16 см можно получить, дважды отложив отрезок в 8 см, а длину 15 см — трижды отложив отрезок в 5 см.

Построение:

1. Начертим произвольную прямую и отметим на ней начальную точку А.
2. От точки А отложим отрезок AB длиной 8 см (используя отметки 5 и 13 на линейке).
3. От точки B отложим в том же направлении еще один отрезок BC длиной 8 см. Длина получившегося отрезка AC будет равна $8 + 8 = 16$ см.
4. Теперь от точки C отложим в обратном направлении (в сторону точки А) три раза подряд отрезок длиной 5 см. Получим точки D, E, F так, что $CD = DE = EF = 5$ см.
5. Общая длина отложенного назад отрезка CF составит $5 + 5 + 5 = 15$ см.
6. Длина оставшегося отрезка AF и будет искомой, так как его длина равна $AF = AC - CF = 16$ см $ - 15$ см $= 1$ см.

Ответ: Отрезок длиной 1 см можно построить по формуле $2 \cdot (13 - 5) - 3 \cdot 5 = 16 - 15 = 1$ см.

53. Начертите два луча так, чтобы их общая часть была:

1) точкой;

2) отрезком;

3) лучом.

54. На шкале линейки нанесены только деления 0 см, 7 см и 11 см. Как, пользуясь этой линейкой, можно построить отрезок длиной:

1) 8 см;

С помощью данной линейки мы можем отмерять расстояния 7 см и 11 см. Кроме того, мы можем отмерять расстояние, равное разности отметок: $11 \text{ см} - 7 \text{ см} = 4 \text{ см}$. Для построения отрезков других длин будем использовать комбинации этих трех расстояний (4, 7 и 11 см).

Чтобы получить отрезок длиной 8 см, можно сложить два отрезка по 4 см: $8 = 4 + 4$. Алгоритм построения следующий:

1. Начертите прямую линию и отметьте на ней произвольную начальную точку О.
2. Постройте отрезок длиной 4 см. Для этого от точки О отложите отрезок ОА длиной 11 см. Затем от точки А отложите в обратном направлении (к точке О) отрезок АВ длиной 7 см. Длина отрезка ОВ будет равна $11 \text{ см} - 7 \text{ см} = 4 \text{ см}$.
3. Теперь к отрезку ОВ нужно пристроить еще один отрезок длиной 4 см. Для этого приложите линейку так, чтобы отметка "7 см" совпала с точкой В, и отметьте точку С, соответствующую отметке "11 см" на линейке (в направлении от точки О). Длина отрезка ВС будет равна $11 \text{ см} - 7 \text{ см} = 4 \text{ см}$, а итоговый отрезок ОС будет иметь длину $4 \text{ см} + 4 \text{ см} = 8 \text{ см}$.

Ответ: Построить отрезок 4 см как разность $11-7$. Затем от конца этого отрезка отложить еще один отрезок 4 см в том же направлении. Итоговый отрезок будет $4+4=8$ см.

2) 5 см?

Для построения отрезка длиной 5 см можно использовать более сложную комбинацию. Один из самых простых способов — это представить 5 см как результат следующих действий: $4 \text{ см} + 4 \text{ см} + 4 \text{ см} - 7 \text{ см} = 5 \text{ см}$.

Алгоритм построения:

1. Начертите прямую и отметьте на ней начальную точку О.
2. Сначала постройте отрезок длиной 12 см. Для этого последовательно отложите от точки О три отрезка по 4 см (каждый из которых строится как разность $11-7$).
   • Постройте отрезок ОА длиной 4 см.
   • Затем от точки А отложите отрезок АВ длиной 4 см, получив отрезок ОВ длиной $4+4=8$ см.
   • Наконец, от точки В отложите отрезок ВС длиной 4 см, получив отрезок ОС длиной $8+4=12$ см.
3. От полученной точки С отложите в обратном направлении (к точке О) отрезок CD длиной 7 см.
4. Длина итогового отрезка OD будет равна $12 \text{ см} - 7 \text{ см} = 5 \text{ см}$.

Ответ: Построить отрезок 12 см, отложив три раза подряд отрезок 4 см (разность $11-7$). Затем от конца 12-сантиметрового отрезка отложить в обратном направлении отрезок 7 см. Итоговый отрезок будет $12-7=5$ см.

54. Прямая $EF$ пересекает прямые $AB$ и $CD$ (рис. 63). Укажите:

1) все образовавшиеся лучи с началом в точке $M$;

2) все пары дополнительных лучей с началом в точке $K$.

Рис. 63

55. Составьте из прямоугольников размерами $1 \times 1$, $1 \times 2$, $1 \times 3$, ..., $1 \times 13$ прямоугольник, каждая сторона которого больше 1.

Для решения задачи сначала найдем общую площадь всех данных прямоугольников. Нам даны 13 прямоугольников с размерами $1 \times 1, 1 \times 2, 1 \times 3, \dots, 1 \times 13$. Их площади равны соответственно $1, 2, 3, \dots, 13$. Суммарная площадь $S$ всех этих прямоугольников равна сумме первых 13 натуральных чисел, которая вычисляется по формуле суммы арифметической прогрессии:

$S = 1 + 2 + 3 + \dots + 13 = \frac{13 \cdot (13+1)}{2} = \frac{13 \cdot 14}{2} = 13 \cdot 7 = 91$.

Следовательно, итоговый прямоугольник, составленный из этих частей, должен иметь площадь 91.

Теперь определим возможные размеры итогового прямоугольника. Пусть его стороны, выраженные целыми числами, равны $a$ и $b$. Тогда его площадь $a \cdot b = 91$. Найдем все пары натуральных делителей числа 91. Поскольку $91 = 7 \cdot 13$, то возможные пары размеров для прямоугольника – это $1 \times 91$ и $7 \times 13$. По условию задачи, каждая сторона итогового прямоугольника должна быть больше 1. Это означает, что вариант $1 \times 91$ не подходит. Таким образом, искомый прямоугольник должен иметь размеры $7 \times 13$.

Остается показать, как можно сложить такой прямоугольник из данных частей. В нашем наборе есть прямоугольник размером $1 \times 13$. Его можно расположить вдоль длинной стороны итогового прямоугольника $7 \times 13$. Этот прямоугольник займет одну из семи строк, например, самую верхнюю.

После этого останется заполнить оставшуюся область размером $6 \times 13$. Для этого у нас есть 12 прямоугольников: $1 \times 1, 1 \times 2, \dots, 1 \times 12$. Их можно сгруппировать попарно таким образом, чтобы сумма длин в каждой паре была равна 13. Каждая такая пара, будучи выложенной встык по короткой стороне, образует полосу размером $1 \times 13$.

Пары будут следующими:

• $1 \times 12$ и $1 \times 1$ (в сумме дают полосу $1 \times 13$)
• $1 \times 11$ и $1 \times 2$ (в сумме дают полосу $1 \times 13$)
• $1 \times 10$ и $1 \times 3$ (в сумме дают полосу $1 \times 13$)
• $1 \times 9$ и $1 \times 4$ (в сумме дают полосу $1 \times 13$)
• $1 \times 8$ и $1 \times 5$ (в сумме дают полосу $1 \times 13$)
• $1 \times 7$ и $1 \times 6$ (в сумме дают полосу $1 \times 13$)

Всего у нас получается 6 таких полос размером $1 \times 13$. Уложив эти 6 полос одну под другой, мы полностью заполним оставшуюся область $6 \times 13$. Таким образом, вместе с первой полосой $1 \times 13$ мы получаем искомый прямоугольник $7 \times 13$.

Ответ: Да, можно. Для этого нужно составить прямоугольник размером $7 \times 13$. Одну строку этого прямоугольника займет деталь $1 \times 13$. Оставшаяся область размером $6 \times 13$ заполняется шестью полосами $1 \times 13$, каждая из которых составлена из двух прямоугольников: ($1 \times 12$ и $1 \times 1$), ($1 \times 11$ и $1 \times 2$), ($1 \times 10$ и $1 \times 3$), ($1 \times 9$ и $1 \times 4$), ($1 \times 8$ и $1 \times 5$), ($1 \times 7$ и $1 \times 6$).

55. Запишите все лучи, изображённые на рисунке 64. Укажите, какие из них являются дополнительными лучами с началом в точке O.

Рис. 64

Изображенные лучи:

Луч $OA$

Луч $OB$

Луч $OC$

Луч $OD$

Луч $AB$

Луч $BA$

Луч $CD$

Луч $DC$

Луч $MA$

Луч $MB$

Дополнительные лучи с началом в точке $O$:

Луч $OA$ и Луч $OB$

Луч $OC$ и Луч $OD$