Страница 29 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

65. На рисунке 76 $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOE = \angle EOF.$

1) Какой луч является биссектрисой угла $AOC$? угла $DOF$? угла $BOF$?

2) Биссектрисой каких углов является луч $OC$?

Рис. 76

По условию задачи, все углы, образованные соседними лучами, равны между собой:
$ \angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOE = \angle EOF $.
Обозначим величину этих равных углов как $ \alpha $.

1) Какой луч является биссектрисой угла AOC? угла DOF? угла BOF?

Биссектриса угла — это луч, который исходит из вершины угла и делит его на два равных угла.
- Для угла $ \angle AOC $:
Угол $ \angle AOC $ состоит из двух углов $ \angle AOB $ и $ \angle BOC $. Поскольку по условию $ \angle AOB = \angle BOC $, то луч OB является биссектрисой угла $ \angle AOC $.
- Для угла $ \angle DOF $:
Угол $ \angle DOF $ состоит из двух углов $ \angle DOE $ и $ \angle EOF $. Поскольку по условию $ \angle DOE = \angle EOF $, то луч OE является биссектрисой угла $ \angle DOF $.
- Для угла $ \angle BOF $:
Рассмотрим луч OD, который делит угол $ \angle BOF $ на два угла: $ \angle BOD $ и $ \angle DOF $.
Найдем их величины:
$ \angle BOD = \angle BOC + \angle COD = \alpha + \alpha = 2\alpha $.
$ \angle DOF = \angle DOE + \angle EOF = \alpha + \alpha = 2\alpha $.
Так как $ \angle BOD = \angle DOF $, луч OD является биссектрисой угла $ \angle BOF $.
Ответ: Биссектрисой угла $ \angle AOC $ является луч OB, биссектрисой угла $ \angle DOF $ является луч OE, биссектрисой угла $ \angle BOF $ является луч OD.

2) Биссектрисой каких углов является луч OC?

Необходимо найти углы, которые луч OC делит на две равные части.
- Угол $ \angle BOD $. Луч OC делит его на углы $ \angle BOC $ и $ \angle COD $. По условию $ \angle BOC = \angle COD $, следовательно, OC — биссектриса угла $ \angle BOD $.
- Угол $ \angle AOE $. Луч OC делит его на углы $ \angle AOC $ и $ \angle COE $.
Найдем величины этих углов:
$ \angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = \alpha + \alpha = 2\alpha $.
$ \angle COE = \angle COD + \angle DOE = \alpha + \alpha = 2\alpha $.
Так как $ \angle AOC = \angle COE $, луч OC является также биссектрисой угла $ \angle AOE $.
Ответ: Луч OC является биссектрисой углов $ \angle BOD $ и $ \angle AOE $.

65. Угол $CEF$ равен $152^\circ$, луч $EM$ проходит между его сторонами, угол $CEM$ на $18^\circ$ больше угла $FEM$. Найдите углы $CEM$ и $FEM$.

66. На рисунке 77 луч $OC$ – биссектриса угла $\angle AOB$. Можно ли совместить наложением:

1) углы $\angle AOC$ и $\angle BOC$;

2) углы $\angle AOC$ и $\angle AOB$?

Рис. 77

1) углы AOC и BOC

Биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла. По условию, луч OC является биссектрисой угла AOB. Это означает, что он делит угол AOB на два равных по величине угла: AOC и BOC. Математически это записывается как $\angle AOC = \angle BOC$. Две геометрические фигуры можно совместить наложением тогда и только тогда, когда они равны (конгруэнтны). Поскольку углы AOC и BOC равны, их можно совместить наложением.
Ответ: да, можно.

2) углы AOC и AOB

Угол AOB состоит из двух углов: AOC и BOC. Следовательно, величина угла AOB равна сумме величин углов AOC и BOC: $\angle AOB = \angle AOC + \angle BOC$. Поскольку OC — биссектриса, мы знаем, что $\angle AOC = \angle BOC$. Заменив $\angle BOC$ на равный ему $\angle AOC$ в формуле суммы, получим: $\angle AOB = \angle AOC + \angle AOC = 2 \cdot \angle AOC$. Из этого следует, что угол AOB в два раза больше угла AOC (если угол AOB не равен нулю). Так как углы имеют разную величину ($\angle AOC \neq \angle AOB$), их невозможно совместить наложением.
Ответ: нет, нельзя.

66. Луч AK принадлежит углу BAD. Найдите углы BAK и DAK, если угол BAK в 7 раз меньше угла DAK и $\angle BAD = 72^\circ$.

67. Южный ветер изменился на: 1) западный; 2) юго-восточный. Найдите угол, на который изменилось направление ветра.

Для решения задачи воспользуемся стандартным представлением направлений на компасе, где полный круг составляет $360^\circ$. Направление ветра указывает, откуда он дует. Примем следующие азимуты для основных направлений:

• Север (С) - $0^\circ$ (или $360^\circ$)
• Восток (В) - $90^\circ$
• Юг (Ю) - $180^\circ$
• Запад (З) - $270^\circ$

Углом изменения направления будет наименьший угол между начальным и конечным векторами направления ветра.

1) Южный ветер изменился на западный

Начальное направление ветра — южное. Это означает, что ветер дует с юга. Азимут этого направления составляет $180^\circ$.

Конечное направление ветра — западное. Ветер дует с запада, что соответствует азимуту $270^\circ$.

Угол изменения направления — это модуль разности их азимутов. Угол между югом и западом на компасе составляет четверть полного круга.

Вычислим разность: $|270^\circ - 180^\circ| = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

2) Южный ветер изменился на юго-восточный

Начальное направление ветра — южное (азимут $180^\circ$).

Конечное направление ветра — юго-восточное. Это направление находится ровно посередине между югом ($180^\circ$) и востоком ($90^\circ$).

Азимут юго-восточного направления равен $90^\circ + \frac{180^\circ - 90^\circ}{2} = 90^\circ + 45^\circ = 135^\circ$.

Угол, на который изменилось направление ветра, равен модулю разности азимутов:

$|180^\circ - 135^\circ| = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

67. На рисунке 71 равные углы отмечены дугами. Найдите углы $ABC$, $MKE$ и $STK$, если в качестве единичного угла взять:

1) угол $ABC$

Угол $ABC = 1$ (единица)

Угол $MKE = 2 \cdot ABC = 2$ (единицы)

Угол $STK = 5 \cdot ABC = 5$ (единиц)

2) угол $MKE$

Угол $MKE = 1$ (единица)

Угол $ABC = \frac{1}{2} \cdot MKE = \frac{1}{2}$ (единицы)

Угол $STK = 5 \cdot ABC = 5 \cdot \frac{1}{2} \cdot MKE = \frac{5}{2}$ (единиц)

Рис. 71

68. Луч BD делит угол ABC на два угла. Найдите:

1) угол ABC, если $\angle ABD = 54^{\circ}$, $\angle CBD = 72^{\circ}$;

2) угол CBD, если $\angle ABC = 158^{\circ}$, $\angle ABD = 93^{\circ}$.

1)

Согласно условию, луч BD делит угол ABC на два угла: $\angle ABD$ и $\angle CBD$. По аксиоме измерения углов, величина всего угла равна сумме величин его частей. Таким образом, чтобы найти угол ABC, необходимо сложить градусные меры углов ABD и CBD.

Дано: $\angle ABD = 54°$, $\angle CBD = 72°$.

Найдём $\angle ABC$:

$\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD$

$\angle ABC = 54° + 72° = 126°$

Ответ: $126°$.

2)

В этом случае известен весь угол $\angle ABC$ и одна из его частей, $\angle ABD$. Чтобы найти другую часть, $\angle CBD$, нужно из величины всего угла вычесть величину известной части.

Дано: $\angle ABC = 158°$, $\angle ABD = 93°$.

Найдём $\angle CBD$:

$\angle CBD = \angle ABC - \angle ABD$

$\angle CBD = 158° - 93° = 65°$

Ответ: $65°$.

68. Точки $A, B$ и $C$ расположены на прямой $AB$ так, что $AB = 3,2$ см, $AC = 4,8$ см, $BC = 8$ см. Являются ли лучи $AB$ и $AC$ дополнительными?

69. Луч OP проходит между сторонами угла MOK. Найдите угол MOP, если $\angle MOK = 172^{\circ}$, $\angle POK = 85^{\circ}$.

Согласно условию задачи, луч OP проходит между сторонами угла MOK. Это означает, что угол MOK состоит из двух углов: MOP и POK. Величина угла MOK равна сумме величин углов MOP и POK. Это можно записать в виде формулы:

$\angle MOK = \angle MOP + \angle POK$

В задаче даны следующие значения:

$\angle MOK = 172^\circ$

$\angle POK = 85^\circ$

Для того чтобы найти величину угла MOP, необходимо из формулы выше выразить $\angle MOP$:

$\angle MOP = \angle MOK - \angle POK$

Подставим известные значения и произведем вычисление:

$\angle MOP = 172^\circ - 85^\circ = 87^\circ$

Ответ: $87^\circ$

69. На рисунке 72 угол ABC – прямой, $\angle ABE = \angle EBF = \angle FBC$, лучи BD и BK – биссектрисы углов ABE и FBC соответственно. Найдите угол DBK.

Рис. 72

70. Градусная мера угла равна:

1) $28^\circ$;

2) $162^\circ$.

Какова градусная мера угла, образованного биссектрисой данного угла и его стороной?

Биссектриса угла — это луч, который выходит из вершины угла и делит его на два равных угла. Таким образом, угол, образованный биссектрисой данного угла и его стороной, равен половине градусной меры исходного угла.

1)

Градусная мера данного угла равна $28^\circ$. Угол, образованный биссектрисой и стороной, будет равен половине этой величины.

$28^\circ \div 2 = 14^\circ$

Ответ: $14^\circ$.

2)

Градусная мера данного угла равна $162^\circ$. Угол, образованный биссектрисой и стороной, будет равен половине этой величины.

$162^\circ \div 2 = 81^\circ$

Ответ: $81^\circ$.

70. На рисунке 73 $ \angle AOC = \angle COD = \angle DOF $, луч $ OB $ – биссектриса угла $ AOC $, луч $ OE $ – биссектриса угла $ DOF $, $ \angle BOE = 72^\circ $. Найдите угол $ AOF $.

Рис. 72

Рис. 73

71. Найдите градусную меру угла, биссектриса которого образует с одной из его сторон угол, равный:

1) $43^\circ$;

2) $65^\circ$

По определению, биссектриса угла — это луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных по величине угла.

Таким образом, угол, который биссектриса образует с одной из сторон исходного угла, составляет ровно половину этого исходного угла. Чтобы найти градусную меру всего угла, необходимо величину угла между биссектрисой и стороной умножить на 2.

Пусть искомый угол равен $\alpha$, а угол между его биссектрисой и одной из сторон равен $\beta$. Тогда справедлива формула: $\alpha = 2 \cdot \beta$

1)

По условию, угол между биссектрисой и стороной равен $43^\circ$. Это значит, что $\beta = 43^\circ$.

Найдем градусную меру искомого угла $\alpha$:

$\alpha = 2 \cdot 43^\circ = 86^\circ$

Ответ: $86^\circ$.

2)

По условию, угол между биссектрисой и стороной равен $65^\circ$. Это значит, что $\beta = 65^\circ$.

Найдем градусную меру искомого угла $\alpha$:

$\alpha = 2 \cdot 65^\circ = 130^\circ$

Ответ: $130^\circ$.

71. На рисунке 74 $ \angle AOB = \angle DOC $. Есть ли ещё на этом рисунке равные углы? Ответ обоснуйте.

Рис. 74

72. Верно ли утверждение:

1) угол, который меньше тупого, острый;

2) угол, который меньше развёрнутого, тупой;

3) угол, в 2 раза меньший тупого, острый;

4) сумма двух острых углов больше прямого угла;

5) угол, в 2 раза меньший развёрнутого угла, больше любого острого угла;

6) угол, который больше прямого, тупой?

Для проверки утверждений воспользуемся определениями углов:

• Острый угол: $0^\circ < \alpha < 90^\circ$
• Прямой угол: $\alpha = 90^\circ$
• Тупой угол: $90^\circ < \alpha < 180^\circ$
• Развёрнутый угол: $\alpha = 180^\circ$

1) угол, который меньше тупого, острый

Это утверждение неверно. Тупой угол — это угол, который больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$. Например, возьмем тупой угол $120^\circ$. Угол, который меньше него, может быть, например, $100^\circ$. Угол $100^\circ$ является тупым, а не острым. Также, угол $90^\circ$ меньше любого тупого угла, но он является прямым, а не острым. Таким образом, угол, который меньше тупого, может быть острым, прямым или другим тупым углом.
Ответ: неверно.

2) угол, который меньше развёрнутого, тупой

Это утверждение неверно. Развёрнутый угол равен $180^\circ$. Угол, который меньше развёрнутого, может быть острым (например, $30^\circ$), прямым ($90^\circ$) или тупым (например, $150^\circ$). Поскольку существуют углы меньше $180^\circ$, которые не являются тупыми, утверждение ложно.
Ответ: неверно.

3) угол, в 2 раза меньший тупого, острый

Это утверждение верно. Тупой угол $\beta$ находится в пределах $90^\circ < \beta < 180^\circ$. Если мы разделим этот угол на 2, то получим новый угол $\alpha = \beta / 2$. Его величина будет находиться в пределах: $90^\circ / 2 < \alpha < 180^\circ / 2$ $45^\circ < \alpha < 90^\circ$ Любой угол в этом диапазоне является острым, так как он больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$.
Ответ: верно.

4) сумма двух острых углов больше прямого угла

Это утверждение неверно. Острый угол — это угол меньше $90^\circ$. Возьмём два острых угла, например, $30^\circ$ и $40^\circ$. Их сумма равна $30^\circ + 40^\circ = 70^\circ$. Эта сумма меньше прямого угла ($90^\circ$), что опровергает утверждение. Сумма двух острых углов может быть как меньше, так и больше прямого угла.
Ответ: неверно.

5) угол, в 2 раза меньший развёрнутого угла, больше любого острого угла

Это утверждение верно. Развёрнутый угол равен $180^\circ$. Угол, в 2 раза меньший, равен $180^\circ / 2 = 90^\circ$. Это прямой угол. Любой острый угол $\alpha$ по определению строго меньше $90^\circ$ ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$). Следовательно, угол в $90^\circ$ всегда будет больше любого острого угла.
Ответ: верно.

6) угол, который больше прямого, тупой

Это утверждение неверно. Угол, который больше прямого ($90^\circ$), может быть не только тупым. Например, развёрнутый угол равен $180^\circ$, он больше $90^\circ$, но не является тупым. Также существуют углы больше $180^\circ$ (например, $270^\circ$), которые также больше прямого угла, но не являются тупыми.
Ответ: неверно.

72. Углы $\angle FOK$ и $\angle MOE$ равны (рис. 75). Равны ли углы $\angle FOM$ и $\angle KOE$?

73. Угол $CEF$ равен $152^\circ$, луч $EM$ проходит между его сторонами, угол $CEM$ на $18^\circ$ больше угла $FEM$. Найдите углы $CEM$ и $FEM$.

Согласно условию, луч EM проходит между сторонами угла CEF. Это означает, что угол CEF состоит из двух углов: CEM и FEM. Сумма этих двух углов равна исходному углу CEF.

Математически это записывается так:
$∠CEF = ∠CEM + ∠FEM$

Нам даны следующие условия:
1. $∠CEF = 152°$
2. Угол CEM на $18°$ больше угла FEM, то есть $∠CEM = ∠FEM + 18°$.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это градусная мера угла FEM ($∠FEM = x$). Тогда, исходя из второго условия, градусная мера угла CEM будет равна $x + 18°$ ($∠CEM = x + 18°$).

Теперь подставим эти выражения в первое уравнение:
$(x + 18°) + x = 152°$

Решим полученное уравнение:
$2x + 18° = 152°$
$2x = 152° - 18°$
$2x = 134°$
$x = \frac{134°}{2}$
$x = 67°$

Мы нашли, что $∠FEM = x = 67°$.

Теперь найдем градусную меру угла CEM:
$∠CEM = x + 18° = 67° + 18° = 85°$

Проверим: $∠CEM + ∠FEM = 85° + 67° = 152°$. Решение верное.
Ответ: $∠CEM = 85°$, $∠FEM = 67°$.

73. Луч BK является биссектрисой угла CBD, $\angle ABK = 146^{\circ}$ (рис. 76). Найдите угол CBD.

Рис. 74

Рис. 75

Рис. 76

74. Луч $AK$ принадлежит углу $BAD$. Найдите углы $BAK$ и $DAK$, если угол $BAK$ в 7 раз меньше угла $DAK$ и $\angle BAD = 72^\circ$.

Поскольку луч АК принадлежит углу BAD, он разделяет угол BAD на два смежных угла: $\angle BAK$ и $\angle DAK$. Сумма градусных мер этих углов равна градусной мере угла BAD.

Это можно записать в виде формулы:
$\angle BAD = \angle BAK + \angle DAK$

Из условия задачи нам известно, что $\angle BAD = 72^\circ$ и что угол BAK в 7 раз меньше угла DAK.

Введем переменную. Пусть градусная мера угла BAK будет $x$.
$\angle BAK = x$

Так как $\angle BAK$ в 7 раз меньше $\angle DAK$, то $\angle DAK$ в 7 раз больше $\angle BAK$.
Следовательно, $\angle DAK = 7 \cdot \angle BAK = 7x$.

Теперь подставим известные значения и выражения в нашу формулу:
$72^\circ = x + 7x$

Решим полученное уравнение:
$8x = 72^\circ$
$x = \frac{72^\circ}{8}$
$x = 9^\circ$

Мы нашли значение $x$, которое является градусной мерой угла BAK.
$\angle BAK = 9^\circ$

Теперь найдем градусную меру угла DAK:
$\angle DAK = 7x = 7 \cdot 9^\circ = 63^\circ$

Выполним проверку: $\angle BAK + \angle DAK = 9^\circ + 63^\circ = 72^\circ$. Это соответствует условию, что $\angle BAD = 72^\circ$.

Ответ: $\angle BAK = 9^\circ$, $\angle DAK = 63^\circ$.

74. Луч ВК является биссектрисой угла $CBD$, $\angle CBD = 54^\circ$. Найдите угол $ABK$.

75. На рисунке 78 равные углы отмечены дугами. Найдите углы $ABC$, $MKE$ и $STK$, если в качестве единичного угла взять:

Рис. 78

По условию задачи, все углы, отмеченные на рисунке 78 одной дугой, равны. Примем величину такого базового угла за $x$.
Исходя из рисунка, можно определить, из скольких базовых углов состоит каждый из искомых углов:
$\angle ABC$ состоит из одного такого угла, поэтому $\angle ABC = x$.
$\angle MKE$ состоит из двух таких углов, поэтому $\angle MKE = 2x$.
$\angle STK$ состоит из четырех таких углов, поэтому $\angle STK = 4x$.

1)

Если в качестве единичного угла взять $\angle ABC$, это означает, что его мера принимается за 1.
$\angle ABC = 1$.
Поскольку $\angle ABC = x$, то из этого следует, что $x = 1$.
Теперь мы можем найти меры остальных углов в этих единицах:
$\angle MKE = 2x = 2 \cdot 1 = 2$.
$\angle STK = 4x = 4 \cdot 1 = 4$.

Ответ: $\angle ABC = 1$, $\angle MKE = 2$, $\angle STK = 4$.

2)

Если в качестве единичного угла взять $\angle MKE$, это означает, что его мера принимается за 1.
$\angle MKE = 1$.
Поскольку $\angle MKE = 2x$, то мы имеем уравнение $2x = 1$, откуда $x = \frac{1}{2}$.
Теперь мы можем найти меры остальных углов в этих новых единицах:
$\angle ABC = x = \frac{1}{2}$.
$\angle STK = 4x = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$.

Ответ: $\angle ABC = \frac{1}{2}$, $\angle MKE = 1$, $\angle STK = 2$.

75. На сколько градусов поворачивается за 1 мин:

1) минутная стрелка;

2) часовая стрелка?