Страница 35 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

101. Найдите угол, смежный с углом:

1) $29^\circ$;

2) $84^\circ$;

3) $98^\circ$;

4) $135^\circ$.

Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой. Основное свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна $180^{\circ}$.

Пусть нам дан угол $\alpha$, а смежный с ним угол, который нужно найти, обозначим как $\beta$. Согласно свойству смежных углов, их сумма составляет $180^{\circ}$:

$\alpha + \beta = 180^{\circ}$

Из этой формулы мы можем выразить искомый угол $\beta$:

$\beta = 180^{\circ} - \alpha$

Используем эту формулу для решения каждого подпункта.

1) Дан угол, равный $29^{\circ}$.

Чтобы найти смежный с ним угол, вычтем его величину из $180^{\circ}$:

$180^{\circ} - 29^{\circ} = 151^{\circ}$

Ответ: $151^{\circ}$.

2) Дан угол, равный $84^{\circ}$.

Найдём смежный с ним угол:

$180^{\circ} - 84^{\circ} = 96^{\circ}$

Ответ: $96^{\circ}$.

3) Дан угол, равный $98^{\circ}$.

Найдём смежный с ним угол:

$180^{\circ} - 98^{\circ} = 82^{\circ}$

Ответ: $82^{\circ}$.

4) Дан угол, равный $135^{\circ}$.

Найдём смежный с ним угол:

$180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}$

Ответ: $45^{\circ}$.

101. Найдите углы, образованные в результате пересечения двух прямых, если:

1) сумма двух из них равна 106°;

2) сумма трёх из них равна 305°.

Рис. 87

102. Может ли пара смежных углов состоять:

1) из двух острых углов;

2) из двух тупых углов;

3) из прямого и тупого углов;

4) из прямого и острого углов?

По определению, смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга (лежат на одной прямой). Важнейшее свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна $180^\circ$. Обозначим смежные углы как $\angle 1$ и $\angle 2$, тогда должно выполняться равенство: $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$.

Вспомним определения типов углов: острый угол — это угол меньше $90^\circ$; прямой угол — это угол, равный $90^\circ$; тупой угол — это угол, который больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$. Проанализируем каждый случай, исходя из этих определений.

1) из двух острых углов

Пусть у нас есть два острых угла, $\angle \alpha$ и $\angle \beta$. По определению острого угла, $\angle \alpha < 90^\circ$ и $\angle \beta < 90^\circ$. Найдем их сумму: $\angle \alpha + \angle \beta < 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Сумма двух острых углов всегда меньше $180^\circ$. Так как сумма смежных углов должна быть строго равна $180^\circ$, пара смежных углов не может состоять из двух острых углов.
Ответ: нет.

2) из двух тупых углов

Пусть у нас есть два тупых угла, $\angle \alpha$ и $\angle \beta$. По определению тупого угла, $\angle \alpha > 90^\circ$ и $\angle \beta > 90^\circ$. Найдем их сумму: $\angle \alpha + \angle \beta > 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Сумма двух тупых углов всегда больше $180^\circ$. Следовательно, пара смежных углов не может состоять из двух тупых углов.
Ответ: нет.

3) из прямого и тупого углов

Пусть один угол прямой ($\angle \alpha = 90^\circ$), а второй тупой ($\angle \beta > 90^\circ$). Найдем их сумму: $\angle \alpha + \angle \beta = 90^\circ + \angle \beta$. Так как $\angle \beta > 90^\circ$, то сумма будет $\angle \alpha + \angle \beta > 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Сумма прямого и тупого углов всегда больше $180^\circ$, поэтому они не могут быть смежными.
Ответ: нет.

4) из прямого и острого углов

Пусть один угол прямой ($\angle \alpha = 90^\circ$), а второй острый ($0^\circ < \angle \beta < 90^\circ$). Найдем их сумму: $\angle \alpha + \angle \beta = 90^\circ + \angle \beta$. Так как $\angle \beta < 90^\circ$, то сумма будет $\angle \alpha + \angle \beta < 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Сумма прямого и острого углов всегда меньше $180^\circ$. Также можно рассуждать иначе: если один из смежных углов равен $90^\circ$, то второй смежный с ним угол должен быть равен $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Угол в $90^\circ$ является прямым, а не острым. Поэтому такая пара невозможна.
Ответ: нет.

102. Найдите углы, образованные при пересечении двух прямых, если разность двух из них равна $64^\circ$.

103. Один из смежных углов прямой. Каким является второй угол?

Смежные углы — это два угла с общей вершиной и одной общей стороной, две другие стороны которых лежат на одной прямой. Основное свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна $180^\circ$ (развернутый угол).

В условии задачи дано, что один из смежных углов является прямым. Прямой угол — это угол, градусная мера которого равна $90^\circ$.

Обозначим смежные углы как $\angle 1$ и $\angle 2$. Согласно свойству смежных углов, их сумма составляет: $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$

Пусть $\angle 1$ — это известный прямой угол. Тогда его величина $\angle 1 = 90^\circ$. Подставим это значение в уравнение: $90^\circ + \angle 2 = 180^\circ$

Чтобы найти величину второго угла $\angle 2$, вычтем $90^\circ$ из $180^\circ$: $\angle 2 = 180^\circ - 90^\circ$ $\angle 2 = 90^\circ$

Полученная величина второго угла также равна $90^\circ$. Угол, равный $90^\circ$, называется прямым.

Ответ: второй угол является прямым.

103. Три прямые пересекаются в одной точке (рис. 87). Найдите $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3$.

104. Найдите угол, смежный с углом $ABC$, если:

1) $ \angle ABC = 36^\circ $;

2) $ \angle ABC = 102^\circ $.

Смежные углы — это пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие стороны являются продолжениями друг друга и образуют развернутый угол. Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$.

Чтобы найти угол, смежный с данным углом $\angle ABC$, нужно вычесть величину $\angle ABC$ из $180^\circ$.

1)

Дано, что $\angle ABC = 36^\circ$.

Найдем смежный с ним угол. Пусть его величина будет $\alpha$.

По свойству смежных углов их сумма равна $180^\circ$:

$\alpha + \angle ABC = 180^\circ$

Выразим отсюда $\alpha$:

$\alpha = 180^\circ - \angle ABC$

Подставим значение $\angle ABC$:

$\alpha = 180^\circ - 36^\circ = 144^\circ$

Ответ: $144^\circ$.

2)

Дано, что $\angle ABC = 102^\circ$.

Найдем смежный с ним угол. Пусть его величина будет $\beta$.

По свойству смежных углов их сумма равна $180^\circ$:

$\beta + \angle ABC = 180^\circ$

Выразим отсюда $\beta$:

$\beta = 180^\circ - \angle ABC$

Подставим значение $\angle ABC$:

$\beta = 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ$

Ответ: $78^\circ$.

104. Прямые AB, CD и MK пересекаются в точке O (рис. 88), $ \angle AOC = 70^\circ $, $ \angle MOB = 15^\circ $. Найдите $ \angle DOK $, $ \angle AOM $ и $ \angle AOD $.

Рис. 88

105. Найдите углы 2, 3 и 4 (рис. 95), если $\angle 1 = 42^\circ$.

Рис. 95

Для решения этой задачи необходимо использовать свойства углов, которые образуются при пересечении двух прямых.

Угол 3
Углы 1 и 3 являются вертикальными. Вертикальные углы — это углы, которые расположены друг напротив друга при пересечении двух прямых. Основное свойство вертикальных углов заключается в том, что они равны.
Следовательно, $\angle 3 = \angle 1$.
Поскольку по условию $\angle 1 = 42^\circ$, то:
$\angle 3 = 42^\circ$.
Ответ: $\angle 3 = 42^\circ$.

Угол 2
Углы 1 и 2 являются смежными. Смежные углы — это углы, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга (образуют прямую линию). Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$.
Следовательно, $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$.
Чтобы найти $\angle 2$, нужно из $180^\circ$ вычесть известный $\angle 1$:
$\angle 2 = 180^\circ - \angle 1$
$\angle 2 = 180^\circ - 42^\circ = 138^\circ$.
Ответ: $\angle 2 = 138^\circ$.

Угол 4
Угол 4 можно найти двумя способами:
1. Углы 2 и 4 являются вертикальными, а значит, они равны. Так как мы уже вычислили, что $\angle 2 = 138^\circ$, то:
$\angle 4 = \angle 2 = 138^\circ$.
2. Углы 1 и 4 также являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$:
$\angle 1 + \angle 4 = 180^\circ$
$\angle 4 = 180^\circ - \angle 1 = 180^\circ - 42^\circ = 138^\circ$.
Оба способа приводят к одному и тому же результату.
Ответ: $\angle 4 = 138^\circ$.

105. Найдите угол между биссектрисами смежных углов.

106. Найдите смежные углы, если:

1) один из них на $70^{\circ}$ больше второго;

2) один из них в 8 раз меньше второго;

3) их градусные меры относятся как $3:2$.

Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Обозначим искомые углы как $\alpha$ и $\beta$. Таким образом, для всех пунктов задачи справедливо равенство $\alpha + \beta = 180^\circ$.

Пусть угол $\alpha$ на $70^\circ$ больше угла $\beta$. Тогда можно записать: $\alpha = \beta + 70^\circ$.

Составим систему уравнений:

$\left\{ \begin{array}{l} \alpha + \beta = 180^\circ \\ \alpha = \beta + 70^\circ \end{array} \right.$

Подставим второе уравнение в первое:

$(\beta + 70^\circ) + \beta = 180^\circ$

$2\beta + 70^\circ = 180^\circ$

$2\beta = 180^\circ - 70^\circ$

$2\beta = 110^\circ$

$\beta = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ$

Теперь найдем второй угол $\alpha$:

$\alpha = 55^\circ + 70^\circ = 125^\circ$

Проверка: $125^\circ + 55^\circ = 180^\circ$.

Ответ: $55^\circ$ и $125^\circ$.

Пусть угол $\alpha$ в 8 раз меньше угла $\beta$. Тогда можно записать: $\beta = 8\alpha$.

Составим систему уравнений:

$\left\{ \begin{array}{l} \alpha + \beta = 180^\circ \\ \beta = 8\alpha \end{array} \right.$

Подставим второе уравнение в первое:

$\alpha + 8\alpha = 180^\circ$

$9\alpha = 180^\circ$

$\alpha = \frac{180^\circ}{9} = 20^\circ$

Теперь найдем второй угол $\beta$:

$\beta = 8 \times 20^\circ = 160^\circ$

Проверка: $20^\circ + 160^\circ = 180^\circ$.

Ответ: $20^\circ$ и $160^\circ$.

Отношение углов $\alpha$ и $\beta$ равно $3:2$. Это можно записать как $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{3}{2}$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда углы можно выразить как $\alpha = 3x$ и $\beta = 2x$.

Подставим эти выражения в уравнение для суммы смежных углов:

$3x + 2x = 180^\circ$

$5x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{5} = 36^\circ$

Теперь найдем градусные меры углов:

$\alpha = 3x = 3 \times 36^\circ = 108^\circ$

$\beta = 2x = 2 \times 36^\circ = 72^\circ$

Проверка: $108^\circ + 72^\circ = 180^\circ$.

Ответ: $72^\circ$ и $108^\circ$.

106. Найдите угол между биссектрисами вертикальных углов.

107. Найдите смежные углы, если:

1) один из них в 17 раз больше второго;

2) их градусные меры относятся как $19 : 26$.

Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой. Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$.

1) один из них в 17 раз больше второго;

Пусть градусная мера меньшего угла равна $x$. Тогда, согласно условию, градусная мера большего угла будет $17x$.
Так как сумма смежных углов равна $180^\circ$, составим и решим уравнение:
$x + 17x = 180^\circ$
$18x = 180^\circ$
$x = \frac{180^\circ}{18}$
$x = 10^\circ$
Итак, меньший угол равен $10^\circ$.
Теперь найдем больший угол:
$17x = 17 \cdot 10^\circ = 170^\circ$
Проверим: $10^\circ + 170^\circ = 180^\circ$.
Ответ: $10^\circ$ и $170^\circ$.

2) их градусные меры относятся как 19 : 26.

Пусть градусные меры углов равны $19k$ и $26k$, где $k$ — коэффициент пропорциональности.
Зная, что сумма этих углов составляет $180^\circ$, составим и решим уравнение:
$19k + 26k = 180^\circ$
$45k = 180^\circ$
$k = \frac{180^\circ}{45}$
$k = 4^\circ$
Теперь найдем градусные меры каждого угла:
Первый угол: $19k = 19 \cdot 4^\circ = 76^\circ$
Второй угол: $26k = 26 \cdot 4^\circ = 104^\circ$
Проверим: $76^\circ + 104^\circ = 180^\circ$.
Ответ: $76^\circ$ и $104^\circ$.

107. Углы $ABF$ и $FBC$ – смежные, $\angle ABF = 80^{\circ}$, луч $BD$ принадлежит углу $ABF$, $\angle ABD = 30^{\circ}$. Найдите угол между биссектрисами углов $DBF$ и $FBC$.

108. Верно ли утверждение:

1) для каждого угла можно построить только один вертикальный угол;

2) для каждого угла, отличного от развёрнутого, можно построить только один смежный угол;

3) если углы равны, то они вертикальные;

4) если углы не равны, то они не вертикальные;

5) если углы не вертикальные, то они не равны;

6) если два угла смежные, то один из них острый, а второй тупой;

7) если два угла смежные, то один из них больше другого;

8) если сумма двух углов равна $180^\circ$, то они смежные;

9) если сумма двух углов не равна $180^\circ$, то они не смежные;

10) если смежные углы равны, то они прямые;

11) если равные углы имеют общую вершину, то они вертикальные;

12) если два угла имеют общую сторону, то они смежные?

1) для каждого угла можно построить только один вертикальный угол;

Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых. Для любого заданного угла, образованного двумя лучами с общей вершиной, можно однозначно продолжить эти лучи за вершину. Новые продолженные лучи образуют ровно один угол, который будет вертикальным исходному. Таким образом, для каждого угла существует только один вертикальный ему угол.
Ответ: Верно.

2) для каждого угла, отличного от развёрнутого, можно построить только один смежный угол;

Смежные углы имеют общую вершину, одну общую сторону, а две другие стороны являются продолжениями друг друга (образуют прямую). У любого угла есть две стороны. Мы можем построить смежный угол, продолжив любую из этих двух сторон. Так как угол не является развернутым, его стороны не лежат на одной прямой, и поэтому мы получим два разных смежных угла. Например, для угла $AOB$ можно построить смежный угол, продолжив сторону $OA$, и другой смежный угол, продолжив сторону $OB$.
Ответ: Неверно.

3) если углы равны, то они вертикальные;

Это утверждение неверно. Можно привести множество контрпримеров. Например, два любых треугольника могут иметь равные углы, но эти углы не будут вертикальными, так как у них нет общей вершины. Или, например, два смежных угла, каждый по $90^\circ$, равны, но они смежные, а не вертикальные.
Ответ: Неверно.

4) если углы не равны, то они не вертикальные;

Это утверждение является обратным к утверждению "если углы вертикальные, то они равны". Теорема о равенстве вертикальных углов является верной. Следовательно, если два угла не равны, они не могут быть вертикальными. Это логическое следствие (контрапозиция).
Ответ: Верно.

5) если углы не вертикальные, то они не равны;

Это утверждение неверно. Как и в пункте 3, можно взять два равных угла, которые не являются вертикальными. Например, два угла по $45^\circ$ в разных местах плоскости. Они равны, но не вертикальные.
Ответ: Неверно.

6) если два угла смежные, то один из них острый, а второй тупой;

Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Если один угол острый (меньше $90^\circ$), то второй действительно будет тупым (больше $90^\circ$). Однако, если один угол прямой ($90^\circ$), то и второй смежный с ним угол тоже будет прямым ($180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$). В этом случае ни один из них не является острым или тупым. Следовательно, утверждение не всегда верно.
Ответ: Неверно.

7) если два угла смежные, то один из них больше другого;

Это утверждение не всегда верно. Контрпример — два смежных прямых угла. Каждый из них равен $90^\circ$, поэтому ни один не больше другого.
Ответ: Неверно.

8) если сумма двух углов равна 180°, то они смежные;

Для того чтобы углы были смежными, они должны не только в сумме давать $180^\circ$, но и иметь общую вершину и общую сторону, а две другие их стороны должны лежать на одной прямой. Можно взять два угла, например, $80^\circ$ и $100^\circ$, расположенные в разных частях плоскости. Их сумма равна $180^\circ$, но они не являются смежными.
Ответ: Неверно.

9) если сумма двух углов не равна 180°, то они не смежные;

По определению, сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$. Следовательно, если сумма двух углов не равна $180^\circ$, они точно не могут быть смежными. Это утверждение является верным (контрапозиция к определению смежных углов).
Ответ: Верно.

10) если смежные углы равны, то они прямые;

Пусть $\alpha$ и $\beta$ — смежные углы. Тогда их сумма $\alpha + \beta = 180^\circ$. По условию, они равны, то есть $\alpha = \beta$. Подставив это в первое равенство, получаем $\alpha + \alpha = 180^\circ$, или $2\alpha = 180^\circ$, откуда $\alpha = 90^\circ$. Значит, $\alpha = \beta = 90^\circ$. Углы, равные $90^\circ$, являются прямыми.
Ответ: Верно.

11) если равные углы имеют общую вершину, то они вертикальные;

Это неверно. Можно расположить два равных угла с общей вершиной так, что они будут просто соседними. Например, три луча $OA$, $OB$, $OC$ выходят из одной точки $O$. Углы $\angle AOB$ и $\angle BOC$ могут быть равны, но они не вертикальные. Вертикальные углы должны быть образованы двумя пересекающимися прямыми.
Ответ: Неверно.

12) если два угла имеют общую сторону, то они смежные?

Неверно. Наличие общей стороны — необходимое, но не достаточное условие для того, чтобы углы были смежными. Кроме общей стороны, две другие стороны этих углов должны образовывать развёрнутый угол (прямую линию). Например, два угла $\angle AOB$ и $\angle BOC$ с общей стороной $OB$ не будут смежными, если их сумма не равна $180^\circ$.
Ответ: Неверно.

108. Углы $AOB$ и $BOC$ – смежные, луч $OD$ – биссектриса угла $AOB$, угол $BOD$ на $18^{\circ}$ меньше угла $BOC$. Найдите углы $AOB$ и $BOC$.

109. Докажите, что если два угла равны, то и смежные с ними углы равны.

Пусть даны два равных угла, $\angle 1$ и $\angle 2$. По условию задачи, их градусные меры равны: $\angle 1 = \angle 2$.

Возьмем угол $\angle 3$, смежный с углом $\angle 1$, и угол $\angle 4$, смежный с углом $\angle 2$.

По свойству смежных углов, их сумма равна $180^\circ$. Таким образом, можно составить следующие равенства:

$\angle 1 + \angle 3 = 180^\circ$

$\angle 2 + \angle 4 = 180^\circ$

Из этих равенств выразим величины смежных углов $\angle 3$ и $\angle 4$:

$\angle 3 = 180^\circ - \angle 1$

$\angle 4 = 180^\circ - \angle 2$

Так как по условию $\angle 1 = \angle 2$, то правые части полученных выражений равны между собой. Если равны правые части, то равны и левые части:

$\angle 3 = \angle 4$

Таким образом, мы доказали, что углы, смежные с равными углами, также равны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны, так как каждый из них равен разности $180^\circ$ и величины исходного равного угла.

109. Найдите смежные углы $MKE$ и $PKE$, если угол $FKE$ на $24^\circ$ больше угла $PKE$, где луч $KF$ – биссектриса угла $MKE$.

110. Сумма двух углов, образованных при пересечении двух прямых, равна 140°. Докажите, что эти углы вертикальные.

При пересечении двух прямых образуются четыре угла. Любая пара углов из этих четырех является либо смежной, либо вертикальной.

Рассмотрим вариант, что данные два угла, сумма которых по условию равна $140^\circ$, являются смежными. По свойству смежных углов, их сумма всегда должна быть равна $180^\circ$.

Поскольку $140^\circ \neq 180^\circ$, возникает противоречие. Это означает, что наше предположение неверно, и данные углы не могут быть смежными.

Так как существует только две возможности (углы смежные или вертикальные), и вариант со смежными углами исключен, то остается единственная возможность: данные углы являются вертикальными.

Проверим это. Если углы вертикальные, то они равны. Пусть величина каждого из углов равна $\alpha$. Тогда их сумма:

$\alpha + \alpha = 140^\circ$

$2\alpha = 140^\circ$

$\alpha = 70^\circ$

Таким образом, каждый из углов равен $70^\circ$. Это не приводит ни к какому противоречию. Углы, смежные с данными, будут равны $180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$.

Следовательно, мы доказали, что углы, о которых идет речь в задаче, являются вертикальными.

Ответ: Утверждение доказано. Если предположить, что данные углы смежные, их сумма должна быть $180^\circ$, что противоречит условию задачи ($140^\circ$). Следовательно, эти углы могут быть только вертикальными.

110. На рисунке 89 $ \angle MAB + \angle ACB = 180^\circ $. Докажите, что $ \angle MAB = \angle KCB $.

Рис. 89

111. Найдите углы, образованные в результате пересечения двух прямых, если:

1) сумма двух из них равна $106^\circ$;

2) сумма трёх из них равна $305^\circ$.

1) При пересечении двух прямых образуются четыре угла: две пары равных вертикальных углов и четыре пары смежных углов. Сумма смежных углов равна $180°$.
Рассмотрим сумму двух углов, которая по условию равна $106°$.
Эти два угла не могут быть смежными, так как их сумма ($106°$) не равна $180°$.
Следовательно, это могут быть только равные между собой вертикальные углы. Пусть величина каждого из этих углов равна $\alpha$.
Тогда их сумма равна $2\alpha = 106°$, откуда находим $\alpha$:
$\alpha = 106° / 2 = 53°$.
Итак, два угла из четырех равны по $53°$.
Два других угла также являются вертикальными и равны между собой. Обозначим их величину как $\beta$. Угол $\beta$ является смежным с углом $\alpha$, поэтому их сумма равна $180°$.
$\beta = 180° - \alpha = 180° - 53° = 127°$.
Таким образом, при пересечении образовались две пары углов: два угла по $53°$ и два угла по $127°$.
Ответ: $53°, 127°, 53°, 127°$.

2) Сумма всех четырех углов, образованных при пересечении двух прямых, всегда составляет полный угол, то есть $360°$.
По условию, сумма трёх из этих углов равна $305°$.
Мы можем найти величину четвертого угла, вычтя сумму трёх известных углов из общей суммы $360°$:
Четвертый угол $= 360° - 305° = 55°$.
Итак, мы нашли один из углов, он равен $55°$. Угол, вертикальный ему, также равен $55°$.
Остальные два угла являются смежными с углом в $55°$. Зная, что сумма смежных углов равна $180°$, найдем их величину:
Смежный угол $= 180° - 55° = 125°$.
Угол, вертикальный этому, также равен $125°$.
Таким образом, при пересечении образовались две пары углов: два угла по $55°$ и два угла по $125°$.
Проверим: сумма трёх углов $55° + 125° + 125° = 305°$. Условие задачи выполняется.
Ответ: $55°, 125°, 55°, 125°$.

111. На рисунке 90 $\angle MBC = \angle BEF$. Докажите, что $\angle ABE + \angle BED = 180^\circ$.

Рис. 90

112. Найдите углы, образованные при пересечении двух прямых, если разность двух из них равна $64^\circ$.

При пересечении двух прямых образуются четыре угла. Среди них есть две пары равных вертикальных углов и четыре пары смежных углов, сумма которых всегда равна $180^\circ$.

Пусть величины двух углов, о которых говорится в задаче, равны $\alpha$ и $\beta$.

Рассмотрим, какими могут быть эти два угла:

• Если эти углы вертикальные, то они равны ($\alpha = \beta$). Их разность будет равна нулю, что противоречит условию задачи, где разность равна $64^\circ$.
• Следовательно, эти углы являются смежными. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

Таким образом, мы можем составить систему из двух уравнений. Пусть $\alpha$ - больший угол, а $\beta$ - меньший:

1. Сумма углов: $\alpha + \beta = 180^\circ$

2. Разность углов (по условию): $\alpha - \beta = 64^\circ$

Теперь решим эту систему. Сложим первое и второе уравнения:

$(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta) = 180^\circ + 64^\circ$

$2\alpha = 244^\circ$

$\alpha = \frac{244^\circ}{2} = 122^\circ$

Подставим найденное значение $\alpha$ в первое уравнение, чтобы найти $\beta$:

$122^\circ + \beta = 180^\circ$

$\beta = 180^\circ - 122^\circ = 58^\circ$

При пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов. Одна пара углов равна $122^\circ$, а другая — $58^\circ$.

Ответ: $58^\circ, 122^\circ, 58^\circ, 122^\circ$.

112. Два угла имеют общую сторону, а их сумма равна $180^\circ$. Являются ли эти углы смежными?